Dạng sóng, phổ, bộ lọc và tính tuyến tính

Dạng sóng, phổ, bộ lọc và tính tuyến tính

• Viết phổ S(f) của dạng sóng thực, nêu các hệ ký hiệu 1, 2, 3 và các ràng buộc ở bảng 9.1.
• Đặc trưng một bộ lọc bằng T(f), đáp ứng xung I(t) hoặc đáp ứng bậc thang A(t) và chuyển qua lại giữa chúng.
• Lọc tín hiệu số bằng tổng chập với h(n) và biết vì sao mẫu của đáp ứng liên tục trùng với g(n).
• Đọc các định lý (tỉ lệ, dịch, điều chế, điều chế đảo) bằng ngôn ngữ dạng sóng, phổ và bộ lọc.
• Chứng minh tuyến tính cộng bất biến theo thời gian tương đương đáp ứng điều hòa và tích chập; phân biệt tuyến tính với bất biến, và tính ổn định.

Dùng nút, chấm tròn hoặc phím ← → để chuyển slide.

Dạng sóng điện

Dạng sóng điện V(t) là hàm thực, đơn trị của thời gian, chỉ phải biểu diễn sự phụ thuộc thời gian có thể có về vật lý. Tuy vậy quen dùng nói như thể bậc thang, xung và tín hiệu hoàn toàn đơn sắc là dạng sóng, dù không thể tạo ra dòng hay điện áp gián đoạn, vô hạn hay vĩnh cửu. Khi nói về mạch với bậc thang hay xung, ta ngầm nói tới một phát biểu chặt hơn trong đó hành vi ấy là giới hạn của dãy kích thích tiến tới bậc thang hay xung vô hạn; cũng đúng với dòng xoay chiều hay một chiều (Bracewell, tr. 198).

Phổ của dạng sóng

Phổ S(f) của V(t) được định nghĩa là biến đổi Fourier của nó (hoặc biến đổi trong giới hạn nếu cần), và tổng hợp lại bằng biến đổi ngược (tr. 198):

Đây là hệ 1 của chương 2. Với V=e^{-t}H(t), S=1/(1+i2\pi f); tại f=0.3 độ lớn là 0.4686.

Dạng sóng thực: phổ Hermite

Vì V(t) thực nên S(f) chịu một ràng buộc: phần thực luôn chẵn và phần ảo lẻ, tức S là Hermite (chương 2; tr. 199). Số đo với dãy thực ngẫu nhiên: |S(-f)-S^*(f)| lệch tối đa 3.6e-15, tức mọi giá trị thỏa S(-f)=S^*(f).

Bảng 9.1: các ràng buộc tương ứng

(Bracewell, tr. 199).

Nhân quả và biến đổi Hilbert

Với dạng sóng nhân quả, phần thực và phần ảo của phổ không độc lập. Số đo với V=e^{-t}H(t): \text{Re}\,S=1/(1+4\pi^2f^2), \text{Im}\,S=-2\pi f/(1+4\pi^2f^2); biến đổi Hilbert (tính bằng FFT) của \text{Re}\,S lệch -\text{Im}\,S tối đa 1.6e-06 (dấu theo quy ước e^{-i2\pi ft}: \text{Im}\,S=-\mathcal H[\text{Re}\,S]).

Hệ 2 và hệ 3

Trong hệ 2, thay \omega=2\pi f: S(\omega)=\int Ve^{-i\omega t}dt, V=\dfrac1{2\pi}\int S(\omega)e^{i\omega t}d\omega; hệ số bất đối xứng 1/2\pi có thể viết trước tích phân nào tùy cách đồng nhất, và người dùng nhớ vị trí của nó nhờ điều: nếu thay d\omega/2\pi bằng df thì công thức đối xứng. Hệ 3 đối xứng: S=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int Ve^{-i\omega t}dt (tr. 199). Số đo với Gauss e^{-\pi t^2}: hệ 1 tại f=0.3 là 0.7537, hệ 2 tại \omega=2\pi(0.3) cùng 0.7537, hệ 3 là 0.3007 (chia \sqrt{2\pi}).

Dạng sóng là chuỗi xung: nối với xử lý tín hiệu số

Dạng sóng V(t) có thể là một chuỗi xung có biên độ khác nhau. Đặc biệt, các xung có thể cách đều nhau, xảy ra ở các thời điểm t=t_i với cường độ a_i, trong đó i và t_i nguyên. Lý thuyết thời gian liên tục thông thường khi đó bao trùm mọi tín hiệu biểu diễn được bằng dãy hệ số \{a_i\} và trực tiếp sinh ra nội dung của xử lý tín hiệu số DSP (tr. 199 đến 200).

Đối xứng hoàn toàn: cặp Hartley

Hartley (1942) đề xuất cặp công thức đối xứng hoàn toàn: H(\omega)=\dfrac{1}{2\pi}\int V(t)(\cos\omega t+\sin\omega t)dt và biến đổi ngược có cùng nhân. Vì \cos\omega t+\sin\omega t là nhân Fourier, các định lý Fourier có bản tương ứng (chương 12), và thuật toán Hartley nhanh được khảo sát trong hàng trăm bài báo từ 1983 (tr. 200). Với dạng sóng thực, H=\text{Re}\,S-\text{Im}\,S. Số đo với V=e^{-t}H(t) tại f=0.3: tích phân trực tiếp và \text{Re}\,S-\text{Im}\,S cùng cho 0.6336.

Tự kiểm tra phần 1

• Ràng buộc nào trên phổ xuất phát từ việc V(t) thực?
• Dạng sóng nhân quả cho quan hệ gì giữa phần thực và ảo của S?
• Hệ 3 khác hệ 1 ở hệ số nào?

Gợi ý: S(-f)=S^*(f); chúng liên hệ bằng biến đổi Hilbert; hệ số 1/\sqrt{2\pi} và biến số \omega.

Bộ lọc

Ta dùng "bộ lọc" để chỉ hệ vật lý có đầu vào và đầu ra; tên khác gồm đầu dò, bốn cực, mạng bốn cổng, phần tử hai cổng. Dù dùng ngôn ngữ điện, các xét này thường áp dụng cho đầu dò cơ và âm và các thiết bị tương đương ở lĩnh vực khác có truyền dao động. Ngay trong điện, bộ lọc có thể là cụm cuộn dây và tụ điện hay cấu trúc hình học tinh vi trong ống dẫn sóng (Bracewell, tr. 200).

Hàm truyền T(f)

Khi dạng sóng A\cos2\pi ft vào một bộ lọc điện tuyến tính bất biến theo thời gian, đầu ra cũng điều hòa (sẽ chứng minh sau) nhưng nói chung khác biên độ và pha: B\cos(2\pi ft-\phi). Bộ lọc được xác định hoàn toàn bởi đại lượng phức phụ thuộc tần số T(f)=\dfrac{B}{A}e^{-i\phi} (tr. 200, 209), gọi là hệ số truyền, hàm truyền, hàm hệ thống hay đáp ứng tần số. Số đo với mạch RC I=e^{-t}H(t), f=0.3: |T| = 0.4686 và pha -\phi = -62.1 độ theo công thức 1/(1+i2\pi f); mô phỏng miền thời gian (đầu ra ổn định của \cos2\pi ft) cho biên độ 0.4689 và trễ pha -62 độ.

Cách 1: phân tích thành phổ, nhân, tổng hợp

Muốn tính đầu ra V_2(t) khi có đầu vào V_1(t): phân tích V_1 thành phổ, nhân mỗi thành phần với hệ số truyền tương ứng để có phổ của V_2, rồi tổng hợp: S_2(f)=T(f)S_1(f) và (tr. 200 đến 201):

Cách 2: tích chập với đáp ứng xung

Vì nhân biến đổi ứng với tích chập, V_2(t) có thể suy trực tiếp từ V_1(t) bằng làm trơn với một hàm đặc trưng của bộ lọc, V_2=I*V_1 với I(t) là biến đổi của T(f) (tr. 201). I(t) chính là đầu ra khi S_1=1, tức khi V_1=\delta(t): "đáp ứng xung" của bộ lọc trong truyền thông. Với nhiều mục đích nó hữu ích như đặc tính tần số, và có thể dễ đo hơn. Số đo: xung chữ nhật đơn vị (rộng 1) qua mạch RC cho V_2(1.5) = 0.3834 bằng tích chập số, bằng e^{-0.5}-e^{-1.5} và bằng IFFT của T\cdot S_1.

Sơ đồ tóm tắt

Gộp các đại lượng vào một sơ đồ, hàm thời gian ở trái, biến đổi ở phải: V_1(t)\leftrightarrow S_1(f); tích chập với I(t) ứng với nhân với T(f); kết quả V_2(t)\leftrightarrow S_2(f) (tr. 201). Phương trình (2) chia V_1 thành chuỗi xung và biểu diễn V_2 là tổng đáp ứng của từng xung thành phần.

Cách thứ ba: đáp ứng bậc thang A(t)

Đáp ứng bậc thang A(t) là đầu ra khi bật một tín hiệu hằng, V_1=H(t). Nhìn V_1 như chuỗi bậc thang V_1'(\tau)H(t-\tau) ta có V_2=A*V_1' (phương trình 3). Biến đổi và so với (1): S_2=A(f)\,i2\pi fS_1 (phương trình 4), nên T(f)=i2\pi f\,\mathcal A(f) với \mathcal A là biến đổi của A, và I(t)=A'(t) (tr. 201 đến 202). Số đo với mạch RC, A=1-e^{-t}: A'=e^{-t} = I với lệch 1.7e-07; và V_2=A'*V_1 trùng I*V_1 trong ví dụ xung chữ nhật.

Bảng: ba cách đặc trưng bộ lọc

(Bracewell, tr. 202, hình 9.1). Vậy tích phân Fourier xuất hiện trong lý thuyết bộ lọc dưới ba dạng, và tích chập cũng: V_2=I*V_1=A'*V_1.

Đạo hàm, tích phân và cấp phân số

Viết lại (4) với cách chia nhân tử khác ta có V_2=A'*V_1, hoặc các công thức chứa đạo hàm và tích phân bậc cao hơn, kể cả bậc phân số (tr. 202). Hình 9.1 tóm tắt: đạo hàm ứng với nhân i2\pi f, tích phân ứng với chia i2\pi f. Ví dụ đáp ứng với t ("đáp ứng dốc") R(t): V_2=R*V_1'' (bài tập 1, tr. 211).

Tự kiểm tra phần 2

• Đáp ứng xung I(t) của mạch RC T=1/(1+i2\pi f)?
• Khi biết đáp ứng bậc thang A, làm sao có I?
• Vì sao S_2=TS_1 tương đương V_2=I*V_1?

Gợi ý: e^{-t}H(t); I=A'; nhân biến đổi ứng với tích chập.

Tính tổng quát của lý thuyết bộ lọc tuyến tính

Ký hiệu V được dùng cho cả đầu vào và đầu ra, nhưng thảo luận không giới hạn ở đại lượng điện: cơ, âm, quang đều nằm trong; đầu vào có thể là điện áp và đáp ứng là dòng, hoặc ngược lại. Với dòng đáp ứng theo áp kích thích, T(f) có tên "dẫn nạp truyền"; "trở kháng truyền" cho áp đáp ứng theo dòng. Vận tốc trên lực, lưu lượng trên áp suất, tỉ số trường điện từ và các tỉ số tương tự ở nơi có tuyến tính đều nằm trong, miễn là có bất biến theo thời gian (Bracewell, tr. 203).

Dữ liệu số cũng nằm trong lý thuyết

Tín hiệu số như \{1\ 2.7\ 7.4\ 20.1\ \ldots\} có nội dung thông tin tương đương một hàm xung theo thời gian liên tục, ở đây \delta(t)+2.7\delta(t-1)+7.4\delta(t-2)+20.1\delta(t-3)+\ldots. Vậy tín hiệu thời gian rời rạc nằm trong lý thuyết. Nhưng với tính toán số, các phép toán thực dụng khác: quy về các tổng chập ở chương 3, giống như tính một tích phân bằng cách cộng các giá trị rời rạc, khác với tính tích phân bằng giải tích (tr. 203).

Sơ đồ mạch, sơ đồ dòng và mô hình

Sơ đồ mạch, vốn là bản vẽ cơ khí bố trí cuộn dây, bản tụ, đầu nối, không còn đại diện cho thiết bị vật lý mà đại diện cho một tập phương trình vi phân. Ta trừu tượng hóa rồi xử lý mô hình toán học mà không viện đến thế giới vật lý. Lý thuyết tín hiệu ở mức trừu tượng cao hơn: phương trình vi phân được nhét vào hộp đen và thay bằng toán tử tổng thể, và sơ đồ dòng, dù từ sơ đồ mạch mà ra, gạt khái niệm mạch để ưu tiên các phép toán tổng thể như phép toán ma trận, nên cách xa thực tế chế tạo hai bậc (tr. 203 đến 204).

Lọc số

Tín hiệu thời gian rời rạc, ở đó t nhận giá trị nguyên, có thể là mẫu đều của tín hiệu liên tục V(t); dãy f(n) là biểu diễn xấp xỉ của tín hiệu "thật", và các giá trị đo như f(n) là cơ sở kiến thức về V(t). Thiết bị lấy mẫu chứa đồng hồ nối V(t) với một tụ trong thời gian nạp ngắn; mẫu về bản chất là trung bình có trọng số trên thời gian hữu hạn. Nhiều tín hiệu rời rạc (số máy bay hạ cánh mỗi ngày, lượng mưa) không phải mẫu của hàm liên tục nào; chúng tồn tại độc lập (Bracewell, tr. 204).

Tổng chập rời rạc

Lọc thông thấp giảm nhiễu ngẫu nhiên hay dao động hệ thống nhanh, lọc thông cao giảm trôi, lọc chính xác đáp ứng quy định pháp lý về băng thông trên đường điện thoại và truyền vô tuyến. Phép lọc là tích chập với đáp ứng xung rời rạc mong muốn h(n), thường có được là biến đổi Fourier của đáp ứng tần số áp đặt: g(n)=h(n)*f(n), so với tích phân chập liên tục V_2=I*V_1 (tr. 204). Bộ lọc h(n) có hữu hạn số hạng gọi là bộ lọc đáp ứng xung hữu hạn (FIR). Số đo với trung bình trượt 3 điểm h=\{\tfrac13,\tfrac13,\tfrac13\} và đầu vào \cos2\pi(0.1)n: biên độ ra ổn định 0.8727 bằng |H(0.1)| = 0.8727.

Đáp ứng liên tục và rời rạc: giá trị h(0)

Nếu ta lọc dãy f(n) bằng đáp ứng xung liên tục như e^{-t}H(t), ta tính được V_2(t)=I(t)*\sum f(n)\delta(t-n), nhưng đầu ra không còn là tín hiệu rời rạc. Cách thông thường là đổi I(t) thành h(n) với h(0)=0.5, h(1)=e^{-1}, h(2)=e^{-2},\ldots: giá trị đầu h(0) chọn bằng trung bình của I(0^-) và I(0^+) (tr. 204 đến 205). Khi đó các giá trị của g(n) trùng với các mẫu của V_2(t) ở t nguyên (hình 9.2).

Ví dụ của sách: \{1\ 2\ 1\}

Với h(n)=\{0.5,\ e^{-1},\ e^{-2},\ldots\} và f(n)=\{1\ 2\ 1\}: g(n)=\{0.5,\ 1.37,\ 1.37,\ 0.69,\ 0.25,\ldots\} (tr. 205). Số đo: g(1) = 1.368, g(2) = 1.371, g(3) = 0.688, g(4) = 0.253, bằng cả tổng chập số lẫn tính V_2(t) liên tục tại các điểm nguyên (với H(0)=\tfrac12).

Bài 30: tín hiệu \{1\ 1.6\ 2\ 0.6\} qua mạch RC

Tín hiệu \{1\ 1.6\ 2\ 0.6\} cách nhau 1 micrô giây vào bộ lọc RC có RC=1 micrô giây; biểu diễn bằng chuỗi xung \delta(t-1)+1.6\delta(t-2)+2\delta(t-3)+0.6\delta(t-4) và vẽ đáp ứng là tổng bốn hàm mũ (tr. 218). Số đo: V_2 tại t=3 là 1.7239, tại t=4 là 1.3021, tại t=6 là 0.2168; hệ số của biểu thức đại số trùng tổng chập \{0.5, e^{-1}, e^{-2},\ldots\}*\{1, 1.6, 2, 0.6\}.

Tự kiểm tra phần 3

• Vì sao h(0)=\tfrac12 chứ không phải 1 khi lấy mẫu e^{-t}H(t)?
• Lọc số khác tính tích phân chập liên tục ở điểm nào khi tính toán?
• FIR là gì?

Gợi ý: trung bình hai phía của bước nhảy; là tổng chập hữu hạn thay tích phân; đáp ứng xung có hữu hạn số hạng.

Bảng 9.2: các định lý cho dạng sóng và phổ

Mọi định lý của chương 6 diễn giải được theo dạng sóng, phổ và bộ lọc; bảng 9.2 gom chúng theo ký hiệu chương này: tỉ lệ V(at)\supset|a|^{-1}S(f/a), cộng, dịch V(t-T)\supset e^{-i2\pi fT}S, điều chế, tích chập I*V_1\supset TS_1, tự tương quan \supset|S|^2, đạo hàm V'\supset i2\pi fS, nghịch đảo tV\supset-S'/i2\pi, t^2V\supset-S''/4\pi^2, sai phân \Delta_TV\supset2i\sin\pi TfS, sai phân bậc hai -4\sin^2\pi TfS, trung bình trượt \supset\text{sinc}\,Tf\,S, cùng Rayleigh, năng lượng, tích phân xác định, tâm khối, mômen, độ rộng tương đương và các bất đẳng thức (tr. 205 đến 206). Bốn định lý đầu được bàn ở các slide sau.

Định lý tỉ lệ: nén thang thời gian nâng mọi tần số

Quan hệ nghịch đảo giữa chu kỳ và tần số hiển nhiên ở định lý này: nén thang thời gian một hệ số làm nén chu kỳ mọi thành phần điều hòa như nhau, nên nâng tần số mọi thành phần cùng hệ số. Vì V(0) không đổi khi đổi thang thời gian nên diện tích dưới phổ, theo định lý tích phân xác định, phải không đổi; do đó có hệ số bù |a|^{-1}, làm phổ yếu đi khi lan tới tần số cao hơn (tr. 206 đến 207). Bài 2: phát âm lại tiếng phim với tốc độ gấp đôi làm tần số gấp đôi. Số đo với Gauss, a=2: đỉnh của phổ giảm còn 0.5 và diện tích dưới phổ giữ 1.

Định lý cộng: chỉ là tuyến tính của phép biến đổi

Dù dịch sang ngôn ngữ dạng sóng, định lý cộng chỉ biểu thị tính tuyến tính của phép biến đổi Fourier. Nó không liên quan gì đến tính tuyến tính của các hệ thống chứa dạng sóng, và đương nhiên đúng cả với dạng sóng trong mạch phi tuyến. Tính tuyến tính của phép biến đổi làm nó thích hợp để xử lý bài toán tuyến tính (tr. 207).

Định lý dịch: trễ đổi pha từng thành phần khác nhau

Khi dạng sóng bị trễ T, các thành phần điều hòa bị ảnh hưởng khác nhau: thành phần có tần số bằng hoặc là bội nguyên của T^{-1} hoàn toàn không bị đổi; thành phần chu kỳ lớn hơn T nhiều ít bị đổi; thành phần chu kỳ ngắn so với T có thể bị đổi pha nặng. Thành phần chu kỳ T_1=f_1^{-1} giữ biên độ nhưng trễ pha 2\pi T/T_1, nên S(f_1) thành \exp(-i2\pi f_1T)S(f_1) (tr. 207). Số đo với T=0.5: hệ số pha tại f=2 (bội của 1/T) là 1 (không đổi); tại f=0.1 là -18 độ; tại f=1.3 là 126 độ.

Định lý điều chế: sóng mang và dải bên

Cách thông thường áp một âm tần có tần số góc \omega lên sóng mang tần số góc \Omega cho dạng sóng (1+M\cos\omega t)\cos\Omega t, với M là độ sâu điều chế. Nó khác sóng mang \cos\Omega t ở phần thêm M\cos\omega t\cos\Omega t, đúng dạng mà định lý điều chế áp dụng (tr. 207). Định lý: phổ của V(t)\cos\omega t có được bằng tách S(f) làm hai nửa, một nửa trượt phải \omega/2\pi, nửa kia trượt trái cùng khoảng. Cộng với phổ sóng mang (định lý cộng) được các dải bên quen thuộc (hình 9.3, tr. 208). Số đo với M=0.5, sóng mang 50 Hz, âm 5 Hz: sóng mang 0.5 tại ±50, dải bên 0.125 tại ±45 và ±55, tức M/4.

Điều chế ngược

Hai tín hiệu giống nhau gửi nối tiếp: phổ tín hiệu ghép có từ phổ của một tín hiệu riêng lẻ bằng nhân với một hàm cosin của tần số. Với gốc thời gian ở giữa hai gốc riêng (tr. 208): V(t+T)+V(t-T)\supset2\cos2\pi Tf\,S(f); hoặc V(t)+V(t-2T)\supset2e^{-i2\pi Tf}\cos2\pi Tf\,S(f) (hình 9.4). Cả hai suy trực tiếp từ định lý dịch. Số đo với Gauss, T=1, f=0.3: |2\cos(2\pi Tf)S| = 0.4658 bằng tích phân số; dạng thứ hai có pha 72 độ.

Bài 24: hai kênh trễ cho |T| hình cosin

Một tín hiệu chia làm hai kênh, một có trễ T_1, một có trễ T_2 dài hơn, rồi cộng lại: T(f)=e^{-i2\pi fT_1}+e^{-i2\pi fT_2}, nên |T|=2|\cos\pi f(T_2-T_1)| là hàm cosin của tần số (bài tập 24, tr. 216). Ba hệ như vậy nối chuỗi tạo đáp ứng xung chữ nhật, dựa vào tích cosin \prod\cos(\pi x/2^k)=\text{sinc}\,x. Số đo với T_1=0.3, T_2=1.1, f=0.4: |T| = 1.0717, và lệch so với 2|\cos\pi f\Delta| chỉ 2.2e-16. Với bốn thừa số cosin, sai số so với \text{sinc}\,x đạt 1 phần trăm đỉnh khi x = 4.47; công thức sửa \text{sinc}\,x=\prod_{k=1}^{N}\cos(\pi x/2^k)\,\text{sinc}(x/2^N) đúng với sai số 4.4e-16.

Bài 29: phân giải hai vạch phổ Gauss

Một quang phổ kế đáp ứng vạch phổ bằng \exp(-\pi x^2/W^2); hai vạch bằng nhau cách L cho \exp[-\pi(x+\tfrac12L)^2/W^2]+\exp[-\pi(x-\tfrac12L)^2/W^2]. Khi L\gg W ghi được hai đỉnh với chỗ trũng ở giữa; đưa lại gần nhau thì có L_{\max} mà tại đó chỗ trũng nâng tới mức các đỉnh, và lúc đó độ cong ở giữa bằng 0 (tr. 218): L_{\max}=W\sqrt{2/\pi} = 0.7979W. Số đo trên lưới: tại L=0.98L_{\max} có một cực đại; tại L=1.02L_{\max} có hai. Với L=0.8L_{\max} chỉ còn một đỉnh, nhưng khớp bằng hàm mẫu vẫn có thể suy ra hai vạch và khoảng cách của chúng nếu biết hình dạng vạch.

Tự kiểm tra phần 4

• Vì sao có hệ số |a|^{-1} trong định lý tỉ lệ?
• Thành phần nào không đổi khi dạng sóng bị trễ T?
• Sóng điều biên có bao nhiêu vạch ở tần số dương và cường độ tương đối của chúng?

Gợi ý: để giữ diện tích dưới phổ bằng V(0); các tần số là bội của 1/T; ba vạch: sóng mang \tfrac12 và hai dải bên M/4.

Định nghĩa tuyến tính

Giả sử V_2(t) là đáp ứng của bộ lọc với kích thích V_1(t), và W_2(t) với W_1(t). Bộ lọc gọi là tuyến tính nếu đáp ứng với V_1+W_1 là V_2+W_2, bất kể chọn V_1, W_1 thế nào. Đôi khi thêm điều kiện đáp ứng với aV_1 là aV_2 với mọi a, nhưng có thể suy ra từ tính chồng chất, chứng minh trước cho a nguyên rồi cho tỷ số nguyên (tr. 209). Về những vấn đề toán học khi điện áp có thể vô tỷ, xem Newcomb (1963) (chú thích ở tr. 209).

Bất biến theo thời gian

Bất biến theo thời gian nghĩa là đáp ứng với V_1(t-T) là V_2(t-T) với mọi T và V_1(t) (tr. 209). Hệ quả của tuyến tính và bất biến theo thời gian: kích thích A\cos2\pi ft với f bất kỳ cho đáp ứng B\cos(2\pi ft-\phi), cùng dạng, có thể trễ pha \phi và đổi biên độ hệ số B/A; hai đại lượng này là tính chất của bộ lọc và viết gọn thành hàm truyền T(f)=(B/A)e^{-i\phi}. Tính chất này thường gọi lỏng là "đáp ứng điều hòa với đầu vào điều hòa".

Chứng minh: đáp ứng điều hòa với đầu vào điều hòa

Cho kích thích đơn vị là phần thực của hàm phức \hat V_1(t)=e^{i2\pi ft}. Giả sử đáp ứng là K(f,t)e^{i2\pi ft}, một hàm tổng quát của f và t. Với kích thích trễ e^{i2\pi f(t-T)}, do bất biến đáp ứng là K(f,t-T)e^{i2\pi f(t-T)}; nhưng kích thích trễ là tích của kích thích gốc với hằng số phức e^{-i2\pi fT}, nên do tuyến tính đáp ứng là tích của đáp ứng gốc với cùng hằng số. Vậy K(f,t-T)e^{i2\pi f(t-T)}=e^{-i2\pi fT}K(f,t)e^{i2\pi ft}, tức K(f,t-T)=K(f,t): K không phụ thuộc t, và chỉ là T(f) (tr. 209 đến 210). Số đo: dãy A\cos2\pi ft qua bộ lọc FIR tuyến tính bất biến cho đầu ra có năng lượng ngoài chính tần số ấy chỉ 1e-32 (tỉ lệ).

Chứng minh: tuyến tính cộng bất biến ⇒ tích chập

Vì tính tuyến tính, đáp ứng là phiếm hàm tuyến tính tổng quát nhất của kích thích: V_2(t)=\int J(t,t')V_1(t')dt'. Bất biến: V_2(t-T)=\int J(t,t')V_1(t'-T)dt', tức V_2(t)=\int J(t+T,t'+T)V_1(t')dt'. Vậy J(t,t')=J(t+T,t'+T) với mọi T, nên J chỉ là hàm của t-t': J(t,t')=I(t-t') và V_2=\int I(t-t')V_1(t')dt', tức tích chập (tr. 210 đến 211). Nhận xét: với một tích chập thì ngược lại đầu ra điều hòa với đầu vào điều hòa, vậy hai điều kiện tương đương.

Khi vi phạm: phi tuyến và biến thiên theo thời gian

Hệ phi tuyến phá vỡ đáp ứng điều hòa: bộ bình phương y=x^2 với đầu vào \cos2\pi ft cho \tfrac12+\tfrac12\cos4\pi ft, xuất hiện thành phần một chiều và tần số 2f (biên độ 0.5 mỗi thành phần). Hệ biến thiên theo thời gian phá vỡ cùng tính chất: nhân với \cos2\pi f_2t (tấm mặt nạ, hay một hệ không bất biến) biến đầu vào tần số f=5 thành hai tần số 4 và 6 khi f_2=1. Bài 12 và 13 của sách: tụ có điện môi bị ép cho điện dung biến thiên ở tần số gấp đôi, nên dòng không hình sin; và mặt nạ nhân ảnh là tuyến tính nhưng không bất biến trong không gian, nên có thể đưa tần số không gian cao xuống thấp (tr. 213).

Tuần hoàn

Hàm không hằng f(x) xác định với mọi x là tuần hoàn chu kỳ T nếu có hằng dương T sao cho f(x+T)=f(x) với mọi x; hàm không cần liên tục. Có thể có nhiều chu kỳ: \cos x có chu kỳ 2\pi nhưng cũng 4\pi, 6\pi; chu kỳ nhỏ nhất là chu kỳ cơ bản. Tổng hai hàm tuần hoàn không nhất thiết tuần hoàn (\cos x+\cos\pi x) nhưng có thể (\cos x+\cos99x). Sự có mặt của thành phần tuần hoàn không đảm bảo tuần hoàn, và một dạng sóng có thể tuần hoàn mà không tìm thấy thành phần ở tần số tương ứng trong phân tích Fourier (tr. 211). Bài 27: y=9\cos5x+11\cos4x tuần hoàn với chu kỳ 2\pi (lệch 4e-13), nhưng thành phần cơ bản tại 1/2\pi có biên độ 0: chu kỳ "lẩn trốn".

Ổn định

Trong cơ học, hệ ổn định nếu nhiễu nhỏ sinh lực đưa hệ về cấu hình cũ. Một ý khác được dùng: hệ tuyến tính ổn định nếu |V_2(t)|<kM với mọi |V_1(t)|<M; nói cách khác nếu đầu vào bị chặn thì đầu ra bị chặn. Dạng phát biểu khác: hệ ổn định nếu tích phân tuyệt đối của đáp ứng xung \int|I(t)|dt hữu hạn (bài tập 18, tr. 214). Số đo: mạch RC có \int|I|dt = 1; tích phân lý tưởng I=H(t) có tích phân đến t=100 bằng 100 và tăng không giới hạn (không ổn định: đầu vào hằng 1 cho đầu ra t); I=e^{-t}\cos2\pi t\,H(t) có \int|I| = 0.6392, bằng đúng độ lợi lớn nhất khi cho vào \text{sgn}\,I(-t).

Bài 16, 17, 19: các vấn đề kết hợp và bị chặn

Bài 16: hai mạng nối tiếp có I_1=H(t), I_2=\delta(t)-\delta(t-1); với đầu vào e^{t}, tích chập e^t*H(t) không hội tụ nên kết hợp tích chập có vẻ sụp đổ dù cả tích chập ba thừa số hội tụ; bài nhắc rằng tính kết hợp của tích chập cần điều kiện tồn tại các tích phân trung gian (tr. 214). Bài 19: đường truyền đoản mạch không tổn hao có \int|I|dt=\infty (đáp ứng xung là chuỗi xung vô hạn) nên trông không ổn định, nhưng với một đầu vào bị chặn cụ thể ta chỉ thấy đầu ra bị chặn; sách hỏi sự thật là gì. Ta chỉ ghi nhận rằng thử một đầu vào bị chặn chưa đủ để kết luận ổn định (tr. 215).

Ví dụ: máy phát xung radar

Bài tập của sách: để đưa 1 megawatt công suất tần số vô tuyến ra ăng ten trong xung dài \Delta=0.1\ \mus, máy phát cần được kích bằng điện áp 15 000 vôn trên đầu vào. Ta nạp một dây dẫn của đường truyền tới 30 kV trong khoảng một mili giây, trở kháng đặc trưng Z_0 bằng điện trở đầu vào của máy phát; tại t=0 công tắc nối đường truyền đã nạp với máy phát, đặt 15 kV lên đầu vào. Điện tích chảy ra với tốc độ không đổi trong 0.1 micrô giây cho tới hết (tr. 212). Ta tính: R=V^2/P = 225 ôm; thời lượng xung =2\ell/v nên \ell=v\tau/2 = 15 mét nếu v=c (cáp thật chậm hơn nên ngắn hơn); năng lượng xung P\tau = 0.1 J bằng \tfrac12CV^2 = 0.1 J với C=\ell/(vZ_0).

Tự kiểm tra phần 5

• Vì sao J(t,t') chỉ phụ thuộc t-t'?
• Cho một ví dụ hệ tuyến tính nhưng không bất biến.
• Vì sao 9\cos5x+11\cos4x tuần hoàn mà thiếu thành phần cơ bản?

Gợi ý: bất biến theo thời gian; nhân với hàm biến thiên như \cos2\pi f_2t; tần số cơ bản 1/2\pi là ước chung của hai tần số, nhưng không có thành phần ở đó.

Điều cần mang theo

• Phổ của dạng sóng thực là Hermite; dạng sóng nhân quả có phần ảo là biến đổi Hilbert của phần thực.
• Bộ lọc được đặc trưng bằng T(f), I(t) hoặc A(t), với S_2=TS_1, V_2=I*V_1=A'*V_1.
• Lọc số là tổng chập với h(n); chọn h(0) bằng trung bình hai phía để mẫu khớp đáp ứng liên tục.
• Tuyến tính cộng bất biến theo thời gian tương đương đáp ứng điều hòa và tích chập; phi tuyến hay biến thiên đều phá vỡ nó.
• Điều chế cho hai dải bên M/4, điều chế ngược nhân phổ với cosin, và ổn định là \int|I|dt hữu hạn.