Bài giảng: Xử lý tín hiệu

🎓 Khung lý thuyết

Trước khi tính, hãy xác định tín hiệu là tất định hay ngẫu nhiên, liên tục hay rời rạc, và hệ có tuyến tính bất biến hay không. Nếu hệ tuyến tính bất biến, đáp ứng là tích chập và đáp ứng tần số mô tả đầy đủ hệ (Bracewell, chương 1 và 9).

❓ Câu hỏi thường gặp

📌 Ví dụ có số liệu thật

Đưa sóng hình sin 50 Hz vào một bộ khuếch đại. Nếu ngõ ra có thêm vạch 100 Hz, hệ phi tuyến (module 1).

🎓 Khung lý thuyết

Muốn giữ được tín hiệu phải lấy mẫu với tần số f_s lớn hơn hai lần tần số cao nhất. Thành phần vượt quá f_s/2 bị gập về một tần số thấp hơn và không tách ra được sau khi đã lấy mẫu (Bracewell, chương 10; Barkat, mục 3.8).

• f_stần số lấy mẫu

❓ Câu hỏi thường gặp

📌 Ví dụ có số liệu thật

Sóng 5000 Hz lấy mẫu ở f_s=8000 Hz (Nyquist 4000 Hz). FFT cho đỉnh tại 3000 Hz, đúng bằng |5000-8000|.

🎓 Khung lý thuyết

Quan sát trong thời gian T chỉ phân giải được các vạch cách nhau ít nhất 1/T. Cắt tín hiệu bằng cửa sổ chữ nhật làm phổ rò sang các ô lân cận (module 1); đây là mặt trái của tích chập với hàm sinc.

❓ Câu hỏi thường gặp

📌 Ví dụ có số liệu thật

Với f_s=8000 Hz và 1024 mẫu, khoảng cách ô là 7.8125 Hz. Để tách hai vạch cách 5 Hz cần T\ge0.2 s, tức ít nhất 1600 mẫu.

🎓 Khung lý thuyết

Chọn hệ quy ước (hằng số 2\pi ở đâu) rồi khai thác đối xứng: tín hiệu thực có phổ Hermitian, nên chỉ cần lưu nửa phổ. Các định lý dịch, tỉ lệ, đạo hàm và tích chập (chương 6) giúp tìm biến đổi mà không phải tích phân (chương 7).

❓ Câu hỏi thường gặp

📌 Ví dụ có số liệu thật

Một tín hiệu thực 1000 mẫu có 1000 hệ số FFT phức, nhưng nhờ tính Hermitian chỉ cần 501 hệ số (rfft).

🎓 Khung lý thuyết

Bộ lọc là tích chập với đáp ứng xung, và ở miền tần số là phép nhân với đáp ứng tần số. Bộ lọc FIR (trung bình trượt) luôn ổn định; bộ lọc đệ quy như y[n]=a\,y[n-1]+(1-a)x[n] rẻ hơn nhưng phải kiểm ổn định (module 1, 3 và 9).

❓ Câu hỏi thường gặp

📌 Ví dụ có số liệu thật

Trung bình trượt 8 điểm ở f_s=8000 Hz có độ lợi 0.640729 tại 500 Hz và 0 tại 1000 Hz (điểm không). Cả freqz lẫn công thức đóng cho cùng kết quả.

🎓 Khung lý thuyết

Tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập có mật độ bằng tích chập các mật độ, tức hàm đặc trưng nhân với nhau. Cùng một phép tích chập, cùng một định lý (Bracewell, chương 16; Barkat, chương 1 và 2).

❓ Câu hỏi thường gặp

📌 Ví dụ có số liệu thật

Tổng của hai biến độc lập cùng phân bố đều trên [-\tfrac12,\tfrac12] có mật độ tam giác. Tích chập số cho phương sai 0.16667, khớp 1/12+1/12=1/6.

🎓 Khung lý thuyết

Phổ công suất là biến đổi Fourier của hàm tự tương quan. Periodogram của một đoạn dữ liệu có độ lệch chuẩn xấp xỉ bằng chính giá trị của nó và không giảm khi tăng N, nên phải lấy trung bình nhiều đoạn (Bracewell, chương 17 và 19; Barkat, mục 3.5 và 3.7).

• R(\tau)hàm tự tương quan
• S(s)phổ công suất

❓ Câu hỏi thường gặp

📌 Ví dụ có số liệu thật

Nhiễu trắng chuẩn hóa, 1024 mẫu mỗi đoạn: một periodogram có độ lệch chuẩn 1.02 (lý thuyết 1), trung bình 64 đoạn còn 0.125 (lý thuyết 0.125).

🎓 Khung lý thuyết

Phát hiện là chọn giữa H_0 (chỉ có nhiễu) và H_1 (có tín hiệu). Tiêu chuẩn Neyman–Pearson giữ xác suất báo động giả P_{FA} cố định và cực đại hóa xác suất phát hiện P_D; lời giải là kiểm định tỉ số hợp lý (Barkat, chương 5 và 10).

• Qhàm đuôi của phân phối chuẩn

❓ Câu hỏi thường gặp

📌 Ví dụ có số liệu thật

Phát hiện mức một chiều A=1 trong nhiễu Gauss \sigma=1 với N=10 mẫu và P_{FA}=10^{-3}: ngưỡng trên trung bình mẫu là 0.9772, d=3.1623, P_D=0.5287 theo công thức và 0.528 theo mô phỏng 400 000 lần.

🎓 Khung lý thuyết

Ước lượng hợp lý cực đại (ML) chọn tham số làm dữ liệu quan sát có khả năng nhất; ước lượng Bayes thêm phân phối tiên nghiệm (MAP, MMSE). Giới hạn Cramér–Rao cho biết phương sai nhỏ nhất của mọi ước lượng không chệch (Barkat, chương 6).

❓ Câu hỏi thường gặp

📌 Ví dụ có số liệu thật

Ước lượng mức một chiều từ N=10 mẫu nhiễu \sigma=1: giới hạn Cramér–Rao là 0.1, phương sai của trung bình mẫu đo bằng mô phỏng là 0.1001, nên trung bình mẫu là ước lượng hiệu quả.

🎓 Khung lý thuyết

Nguyên lý trực giao nói sai số của ước lượng bình phương tối thiểu phải trực giao với dữ liệu. Bộ lọc Wiener áp dụng nó cho quá trình dừng; bộ lọc Kalman làm việc đệ quy cho hệ thay đổi theo thời gian (Barkat, mục 7.2, 7.3 và 7.5).

❓ Câu hỏi thường gặp

📌 Ví dụ có số liệu thật

Tín hiệu vô hướng phương sai 1 trong nhiễu phương sai 0.25: hệ số Wiener 0.8, sai số bình phương trung bình 0.2 (mô phỏng 0.2006) so với 0.2504 nếu để nguyên dữ liệu.

🎓 Khung lý thuyết

Khi công suất nhiễu thay đổi, ngưỡng cố định làm xác suất báo động giả trôi. CFAR ước lượng mức nhiễu từ các ô tham chiếu quanh ô đang xét rồi đặt ngưỡng tỉ lệ với nó, giữ P_{FA} không đổi (Barkat, chương 11 và 12).

❓ Câu hỏi thường gặp

📌 Ví dụ có số liệu thật

CA-CFAR với N=16 ô tham chiếu và P_{FA}=10^{-2} trong nhiễu bình phương-hợp-luật: hệ số ngưỡng \alpha=5.336 lần trung bình ô tham chiếu; mô phỏng 500 000 lần cho P_{FA}=0.0099.

🎓 Khung lý thuyết

Một kết quả chưa xong cho tới khi được tính bằng hai phương pháp độc lập và khớp nhau: FFT với tổng trực tiếp, tích phân số với công thức đóng, công thức với mô phỏng. Khi báo cáo, ghi đủ f_s, N, cửa sổ, hạt giống ngẫu nhiên và phiên bản thư viện để người khác tái lập.

❓ Câu hỏi thường gặp

📌 Ví dụ có số liệu thật

Mọi notebook của khóa đều làm đúng như vậy: ví dụ module 1 in ra độ lệch giữa FFT và tổng trực tiếp, và dừng nếu vượt 10^{-9}.