Ký hiệu xung: \delta, tính chất sàng, shah và hàm suy rộng

Ký hiệu xung: \delta, tính chất sàng, shah và hàm suy rộng

• Giải thích \delta(x) như giới hạn của dãy xung diện tích 1, và vì sao dạng xung không quan trọng.
• Dùng tính chất sàng, tỉ lệ \delta(ax), và cẩn thận với x\delta(x).
• Dùng \text{III}(x) cho lấy mẫu và nhân bản, và cặp xung chẵn, lẻ cho sai phân.
• Tính với \delta', \delta'', hàm rỗng và xung nhiều chiều.
• Hiểu hàm suy rộng là lớp các dãy chính quy, và đạo hàm định nghĩa bằng tích phân từng phần.

Dùng nút, chấm tròn hoặc phím ← → để chuyển slide.

Xung: chỉ tích phân quan trọng

Cần một ký hiệu cho xung mạnh, diện tích 1, ngắn tới mức thiết bị đo có độ phân giải cho trước không phân biệt được nó với xung ngắn hơn nữa. Cơ học gọi là "xung lượng". Thuộc tính quan trọng là tích phân của nó; chi tiết dạng không quan trọng (Bracewell, tr. 74).

Lịch sử ký hiệu \delta(x)

Ý tưởng đã có hơn một thế kỷ trong giới toán: van der Pol và Bremmer (1955) dẫn các ví dụ từ Hermite, Cauchy, Poisson, Kirchhoff, Helmholtz, Kelvin và Heaviside. Ký hiệu \delta(x) do G. Kirchhoff dùng đầu tiên, rồi Dirac đưa vào cơ học lượng tử năm 1927 (tr. 74).

Những thứ không tồn tại nhưng hữu ích

Khối điểm, điện tích điểm, nguồn điểm, lực tập trung, nguồn đường, điện tích mặt là các thực thể quen thuộc trong vật lý, dù không tồn tại. Giá trị khái niệm của chúng nằm ở chỗ đáp ứng xung (tác dụng gắn với xung) có thể không phân biệt được, với thiết bị đo cho trước, so với đáp ứng của một xung có thật (tr. 74).

Định nghĩa: không phải một hàm

Ta muốn viết \delta(x)=0 với x\ne0 và \int\delta=1, nhưng ký hiệu xung không biểu diễn một hàm theo nghĩa giải tích. Dirac gọi nó là "hàm không chính thức" và tích phân ở trên chỉ có nghĩa khi nêu quy ước diễn giải. Ở đây nó nghĩa là giới hạn của \int\tau^{-1}\Pi(x/\tau)dx khi \tau\to0 (tr. 74 đến 75).

• \tau^{-1}\Pi(x/\tau)xung chữ nhật cao \tau^{-1}, đáy \tau, diện tích 1

Đáp ứng của mạch lọc RC: dạng xung dần không quan trọng

Cho xung điện áp vào bộ lọc thông thấp, đáp ứng quá độ dần ổn định khi xung ngắn dần, và khi đó không phụ thuộc dạng xung vào, vì thành phần tần số cao phân biệt các xung gần như không gây đáp ứng (tr. 75). Với mạch RC có h(t)=e^{-t}H(t), ba xung diện tích 1 (chữ nhật, tam giác, hai xung nhỏ) rộng \tau: tại t=1 độ chênh giữa ba đáp ứng là 0.009 khi \tau=0.5, 0.0003 khi \tau=0.1 và 0 khi \tau=0.01.

Mối liên hệ giữa \delta và bậc thang

Vì \int_{-\infty}^x\delta(x')dx' bằng 1 khi x>0 và 0 khi x<0, ta có \int_{-\infty}^x\delta=H(x). Để hiểu đúng, thay \delta bằng dãy \tau^{-1}\Pi(x/\tau): các tích phân là hàm dốc-bậc thang (hình 5.1), rồi cố định x và cho \tau\to0 (tr. 75 đến 77). Tại x=0.1: \tau=0.5 cho 0.7, \tau=0.1 cho 1; tại x=-0.1: 0.3 và 0.

"Đạo hàm của bậc thang là xung" nghĩa là gì

Bậc thang không có đạo hàm tại gốc, nên phát biểu này là dấu tắt cho: đạo hàm của một dãy hàm khả vi tiến về H(x) là một dãy xác định phù hợp cho \delta(x). Các hàm dốc-bậc thang của hình 5.1 khả vi và tiến về H; bước nhảy luôn bằng 1 nên diện tích dưới mỗi đạo hàm bằng 1, đủ điều kiện làm dãy xung đơn vị (tr. 77).

Nhiều dãy khác nhau xác định cùng một \delta

Bracewell liệt kê các dãy tiến về 0 qua giá trị dương của \tau (tr. 77 đến 78): xung chữ nhật đặt lệch (cạnh trái tại gốc, hay dùng trong mạch điện có công tắc), Gauss (mọi đạo hàm đều tồn tại), tam giác (liên tục, bằng 0 ngoài |x|<\tau), \tau^{-1}\text{sinc}(x/\tau) (không tắt dần nhưng vẫn dùng được), đường cộng hưởng \tau/[\pi(x^2+\tau^2)] (tắt chậm), và hàm trơn có giá compact. Bảng sau cho \int f\,\delta_\tau\,dx với f=\cos x+\tfrac12\sin2x (nên f(0)=1):

Mọi dạng đối xứng đều tiến về 1; dạng cạnh trái tiến về f(0+) ở chỗ gián đoạn nên hơi khác khi \tau chưa nhỏ.

Tự kiểm tra phần 1

• Vì sao mạch RC không phân biệt được các xung vào rất ngắn có dạng khác nhau?
• Vì sao "đạo hàm của bậc thang là xung" chỉ là dấu tắt?
• Dãy nào trong bảng trên tiến về giá trị khác 1 khi \tau chưa nhỏ, và vì sao?

Gợi ý: vì thành phần tần số cao gần như không gây đáp ứng; vì bậc thang không có đạo hàm tại gốc; dạng chữ nhật cạnh trái, vì nó sàng f tại lân cận bên phải.

Tính chất sàng

Thay \delta bằng \tau^{-1}\Pi(x/\tau), nhân với f, lấy tích phân rồi cho \tau\to0: diện tích phía dưới xấp xỉ \tau^{-1} nhân phần bóng, vốn cao trung bình gần f(0) và rộng \tau, nên tiến về f(0). Phép toán "sàng" ra một giá trị duy nhất của f. Dạng xung không quan trọng, chỉ tích phân có ý nghĩa (tr. 79).

Tích chập với \delta không đổi gì

Viết dưới dạng tích chập, \delta(x)*f(x)=f(x)*\delta(x)=f(x). Nếu f có bước nhảy tại x=0, tích phân sàng có giá trị giới hạn \tfrac12[f(0+)+f(0-)], nên tổng quát hơn ta viết \delta*f=\tfrac12[f(x+)+f(x-)]; khác f chỉ bởi hàm rỗng (tr. 80). Số đo với f=e^{-x}H(x): dãy đặt giữa cho 0.5, dãy cạnh trái cho 1 tại chỗ nhảy.

Dãy cạnh trái sàng f(x+)

Dãy chữ nhật không đối xứng \tau^{-1}\Pi[(x-\tau/2)/\tau] có tính chất sàng ra f(x+). Tại điểm gián đoạn, dùng dãy này cho kết quả khác. Trong phân tích quá độ, nơi gián đoạn ở thời điểm đóng công tắc t=0 rất phổ biến, việc chọn dãy có vẻ cho đáp số khác, nhưng khác biệt chỉ tức thời (tr. 80).

Tỉ lệ: \delta(ax)=|a|^{-1}\delta(x)

Nén thang x đi a lần làm diện tích của các xung vốn bằng 1 giảm đi, nên cường độ xung giảm |a| lần. Dấu môđun bao hàm tính chất \delta(-x)=\delta(x) (tr. 80). Số đo: \int f\,\tau^{-1}\Pi(3x/\tau)dx với \tau=0.01 bằng 0.3333, gần f(0)/3.

Nhân với hàm liên tục: f(x)\delta(x)=f(0)\delta(x)

Nếu f liên tục tại 0 thì f(x)\delta(x)=f(0)\delta(x) (tr. 81). Kiểm số: kiểm bằng hàm thử g=e^{-x^2} và dãy Gauss \tau=0.01, \int f\delta_\tau g\,dx = 1, đúng f(0)g(0)=1.

x\delta(x)=0: đúng, nhưng có điều kiện

Từ tính chất sàng với f=x, \int x\delta(x)dx=0, và người ta viết x\delta(x)=0. Nhưng nhìn các hàm trước giới hạn, phương trình này che giấu một thành phần khác không gợi nhớ hiện tượng Gibbs: \lim_{\tau\to0}[x\tau^{-1}\Pi(x/\tau)]=0 với mọi x, nhưng cực đại của nó luôn là \tfrac12 và cực tiểu -\tfrac12 (tr. 81). Đo: cực đại 0.5 với \tau=0.1 lẫn \tau=0.001.

Chuỗi xung shah \text{III}(x)

Chuỗi vô hạn các xung đơn vị cách nhau 1 (hình 5.4). Mọi dè dặt của \delta đều áp dụng, và nhiều hơn: vô số gián đoạn vô hạn và tích phân vô hạn không hội tụ, nên mọi điều kiện tồn tại biến đổi Fourier đều bị vi phạm; nhưng nó lại rất hữu ích và dễ thao tác (tr. 81 đến 82). Các tính chất hiển nhiên: tuần hoàn chu kỳ 1, chẵn, \text{III}(x-\tfrac12)=\text{III}(x+\tfrac12).

Lấy mẫu: nhân với shah

Nhân f(x) với \text{III}(x) lấy mẫu f ở các khoảng đơn vị: \text{III}(x)f(x)=\sum f(n)\delta(x-n). Thông tin trong các khoảng giữa các số nguyên bị mất, nhưng giá trị tại số nguyên được giữ. Shah dùng cho giản đồ bức xạ dàn ăng-ten, nhiễu xạ cách tử, quét raster trong tivi và radar, điều chế xung, lấy mẫu dữ liệu, chuỗi Fourier và bảng số (tr. 82). Tổng mẫu \sum_nf(n) với f=e^{-\pi x^2} là 1.0864.

Nhân bản: tích chập với shah

\text{III}*f=\sum f(x-n): hàm f xuất hiện lặp lại (bản sao) ở các khoảng đơn vị về cả hai phía; nếu f rộng hơn một đơn vị thì các bản sao chồng lấn (hình 5.6). Tính hai mặt (lấy mẫu và tuần hoàn) không phải ngẫu nhiên: \text{III} là biến đổi Fourier của chính nó (trong giới hạn), nên hữu ích gấp đôi (tr. 82 đến 83). Với f=e^{-\pi x^2}, (\text{III}*f)(0.5) = 0.9136, tính bằng tổng trực tiếp và bằng chuỗi Fourier \sum(-1)^ke^{-\pi k^2} đều ra cùng số.

Cái bẫy \text{III}(ax): cường độ xung

Nén shah theo x hai lần thành \text{III}(2x) làm các xung sát gấp đôi, nhưng để nhất quán đại số, cường độ giảm cùng hệ số: \text{III}(ax)=|a|^{-1}\sum\delta(x-n/a). Nếu kéo giãn để khoảng cách là X thì \text{III}(x/X) chưa có cường độ đơn vị: xung đơn vị cách nhau X là X^{-1}\text{III}(x/X) (tr. 83). Số đo với f=e^{-\pi x^2} (diện tích 1): \sum f(nX) = 1.0864 (X=1) và 2 (X=0.5, gấp đôi vì thiếu hệ số X), còn X\sum f(nX) = 1 (X=0.5), đúng diện tích.

Đối ngẫu Poisson: shah tự biến đổi

Vì \text{III}\supset\text{III}, tổng các mẫu của f bằng tổng các mẫu của F: \sum f(n)=\sum F(k). Với f=e^{-\pi x^2/4} có F=2e^{-4\pi s^2}: vế trái 2.000014 và vế phải 2.000014, trùng tới sai số làm tròn. Đây là công thức tổng Poisson mà chương 10 sẽ dùng cho định lý lấy mẫu.

Tự kiểm tra phần 2

• Vì sao x\delta(x)=0 vẫn để lại một cực đại \tfrac12 trước giới hạn?
• Xung đơn vị cách nhau X biểu diễn thế nào?
• Vì sao \text{III} vừa lấy mẫu vừa nhân bản?

Gợi ý: vì x\tau^{-1}\Pi(x/\tau) cao \tfrac12 tại mép; X^{-1}\text{III}(x/X); vì nó tự biến đổi.

Cặp xung chẵn và cặp xung lẻ

Bracewell định nghĩa (hình 5.7, ký hiệu riêng ở bảng 4.1; ở đây viết \mu và \nu):

Chúng quan trọng vì liên hệ biến đổi với cosin và sin: \mu(x)\supset\cos\pi s, \cos\pi x\supset\mu(s), và \nu(x)\supset i\sin\pi s, \sin\pi x\supset i\nu(s) (tr. 84). Notebook: biến đổi số của \mu tại s=0.3 là 0.5878, đúng \cos0.3\pi.

Cặp chẵn nhân đôi hàm

Tích chập với \mu cho \mu*f=\tfrac12f(x+\tfrac12)+\tfrac12f(x-\tfrac12), tức trung bình hai bản dịch (hình 5.8). Chuẩn hóa để diện tích bằng 1 có lợi thế; đôi khi người ta muốn hai xung đơn vị (tr. 84). Với f=e^{-\pi x^2} tại x=0: 0.4559.

Sai phân hữu hạn bằng cặp lẻ

Định nghĩa sai phân hữu hạn \Delta f(x)=f(x+\tfrac12)-f(x-\tfrac12), ta có \Delta f=2\nu*f, tức toán tử \Delta=2\nu* (tr. 84 đến 85). Kiểm số: với f=\sin x, \Delta f(0)=2\sin\tfrac12 = 0.9589; với f=e^{-\pi x^2}, biến đổi của \Delta f là 2i\sin(\pi s)F(s), độ lớn 1.2195 tại s=0.3 bằng cả tích phân số lẫn công thức.

Đạo hàm thứ nhất \delta'(x): dipole

\delta'(x)=\frac{d}{dx}\delta(x) gợi hình ảnh một lưỡng cực vô cùng nhỏ trong tĩnh điện, một hình ảnh quen thuộc và dễ dùng. Cách viết \delta' chuyển sự dễ dàng đó sang toán, nhưng ta không thể bắt một hàm vọt lên vô cùng ngay trái gốc, xuống âm vô cùng ngay phải, và bằng 0 ở mọi chỗ khác. Ta cũng muốn viết \delta'(0)=0 (tr. 85).

Diễn giải chặt chẽ: đạo hàm của dãy xung

Ta lui về dãy xung như với \delta và xét các đạo hàm của chúng (hình 5.9). Ví dụ \int\delta'(x)dx=0 là dấu tắt của \lim\int[\text{đạo hàm của xung}]dx=0. Hình dạng xung chính xác không quan trọng, thậm chí xung chữ nhật cũng được, nhưng trong công việc sau, xung trơn có thể có lợi (tr. 85 đến 86). Tính chất sàng đạo hàm: \int\delta'(x)f(x)dx=-f'(0); với dãy Gauss \tau=0.05 và f=\cos x+\tfrac12\sin2x cho -0.9992, trùng -\int\delta_\tau f' (lệch 4.2e-15).

Tính chất của \delta'

Các tính chất đi kèm (tr. 86): \int x\delta'(x)dx=-1, \int|\delta'(x)|dx=\infty, \delta'(-x)=-\delta'(x), x\delta'(x)=-\delta(x), và f(x)\delta'(x)=f(0)\delta'(x)-f'(0)\delta(x). Số đo: \int x\delta'_\tau dx = -1; \int|\delta'_\tau|dx = 20 khi \tau=0.1 và 200 khi \tau=0.01, tăng như 2/\tau: không có giới hạn hữu hạn.

Đạo hàm bậc cao

Với đạo hàm cấp cao (tr. 87): \int\delta''(x)dx=0, \int x^2\delta''(x)dx=2, x^n\delta^{(n)}(x)=(-1)^nn!\,\delta(x), và \int\delta^{(n)}(x)f(x)dx=(-1)^nf^{(n)}(0). Số đo: \int x^2\delta''_\tau dx = 2; với f=\cos x+\tfrac12\sin2x, \int\delta''f = -1, đúng f''(0)=-1.

Hàm rỗng

Hàm rỗng nổi tiếng vì biến đổi Fourier bằng 0 mà bản thân không đồng nhất bằng 0. Định nghĩa: f rỗng nếu \int_a^bf\,dx=0 với mọi a,b. Định lý Lerch: nếu hai hàm có cùng biến đổi thì hiệu của chúng là hàm rỗng. Ví dụ là \delta^{\circ}(x), bằng 0 khi x\ne0 và 1 khi x=0; nó mô tả dòng điện qua điện trở nối tiếp tụ điện từ một acquy khi điện dung tiến về 0 (tr. 87). Số đo: diện tích của một điểm cao 1 trên lưới bước 10^{-3} và 10^{-6} là 1e-03 và 1e-06, tiến về 0.

Tự kiểm tra phần 3

• Tính \int\delta'(x)\cos x\,dx và \int\delta''(x)\cos x\,dx.
• Vì sao \int|\delta'|=\infty dù \int\delta'=0?
• Hàm rỗng có biến đổi Fourier là gì?

Gợi ý: 0 và -1; vì hai nửa dương và âm đều dài vô hạn theo 1/\tau; bằng 0.

Xung hai chiều và ba chiều

^2\delta(x,y) mô tả phân bố áp suất trên mặt phẳng khi đặt một lực tập trung đơn vị tại gốc; ^3\delta(x,y,z) mô tả mật độ điện tích trong một thể tích chứa một điện tích đơn vị tại (0,0,0). Tính chất được thiết lập bằng dãy như \tau^{-2}\Pi(x/\tau)\Pi(y/\tau) có thể tích 1 (tr. 89).

Dạng xuyên tâm và trụ

Với r^2=x^2+y^2, ^2\delta(x,y)=\delta(r)/\pi r. Trong ba chiều, ^3\delta(x,y,z)=\delta(x)\delta(y)\delta(z)={}^2\delta(x,y)\delta(z), và trong toạ độ trụ và cầu có các dạng tương ứng (tr. 89 đến 90). Số đo: tích phân 2\pi r\,dr của \delta_\tau(r)/\pi r với dãy Gauss trên mặt phẳng (\tau=0.1) bằng 1.

Giường đinh ^2\text{III}(x,y)

Để mô tả các dàn hai chiều, dùng ký hiệu giường đinh (hình 5.12). Nó tích được: ^2\text{III}(x,y)=\text{III}(x)\text{III}(y), tuần hoàn kép, và f(x,y)\,{}^2\text{III}=\sum\sum f(m,n)\,{}^2\delta(x-m,y-n): dữ liệu hai chiều tra bảng và hệ số của chuỗi Fourier kép (tr. 90 đến 91). Chập với nó cho bản sao hai chiều, như dàn ăng-ten giống hệt nhau. Số đo: \sum\sum e^{-\pi(m^2+n^2)} = 1.1803 bằng bình phương của tổng một chiều 1.0864.

Hàng đinh và cách tử

Hai phân bố hai chiều quan trọng không cần ký hiệu mới: hàng đinh \text{III}(x)\delta(y) và cách tử \text{III}(x) (hình 5.14). Chúng tạo thành một cặp biến đổi Fourier hai chiều, tiện cho bàn về nhiễu xạ ánh sáng qua một hàng lỗ kim hay qua cách tử nhiễu xạ (tr. 91).

Đạo hàm của xung: dipole và tứ cực

Diễn giải bằng đạo hàm của xung, nhiều dạng là phân bố điện tích quen thuộc. \delta'(x) trên mặt phẳng (x,y) là phân bố mô men lưỡng cực đường nằm trên trục y; trong không gian ba chiều là phân bố mô men lưỡng cực mặt trên mặt phẳng (y,z). Lưỡng cực đơn tại gốc, mô men đơn vị theo x, là -\delta'(x)\delta(y)\delta(z). Tứ cực đơn là \delta''(x)\delta(y)\delta(z) (tr. 91 đến 92).

Ứng dụng vào phương trình vật lý

Bức xạ tứ diệp (cỏ ba lá) của một anten có giản đồ mô tả bởi \delta'(x)\delta'(y) trên mặt phẳng (x,y). Mọi biểu thức ký hiệu này có thể tin cậy đưa vào phương trình Maxwell, phương trình sóng, phương trình Poisson và các phương trình vi phân cơ bản khác (tr. 92).

Tự kiểm tra phần 4

• Viết ^2\delta(2x,3y) theo ^2\delta(x,y).
• ^2\text{III}(x,y) liên hệ thế nào với \text{III}(x) và \text{III}(y)?
• Xung nào biểu diễn một lưỡng cực đơn vị hướng theo x?

Gợi ý: \tfrac16\,{}^2\delta(x,y); là tích; -\delta'(x)\delta(y)\delta(z).

Vì sao cần hàm suy rộng

Ký hiệu xung và các tổ hợp như \text{III}, \mu đem lại nhiều tiện lợi, trong đó có việc cho đạo hàm của hàm có gián đoạn đơn giản. Thông thường ta nói đạo hàm không tồn tại; ký hiệu xung cho phép chứa các gián đoạn đó (Bracewell, tr. 92). Dùng "symbol" để nhắc rằng đây không phải hàm.

Dòng xoay chiều thuần túy: vô hạn xa xôi là tiện lợi

Dòng xoay chiều thuần túy là biến thiên điều hòa vĩnh cửu, không tạo được. Nhưng đáp ứng với biến thiên điều hòa trên một khoảng rồi bằng 0 bên ngoài có thể làm độc lập với thời điểm bật tới một độ chính xác cho trước, nếu chờ đủ lâu. Vì cách bật không quan trọng, ta đẩy nó vào quá khứ vô hạn xa (tr. 92 đến 93). Tương tự, xung không tạo được nhưng đáp ứng với các xung đủ ngắn có thể không phân biệt được, với độ phân giải hữu hạn.

Độ phân giải hữu hạn là chìa khóa

Độ chính xác đo bị giới hạn bởi độ phân giải thời gian và phổ của thiết bị. Chính đặc điểm này là chìa khóa cho việc diễn giải toán học: tích phân chứa \delta được hiểu là giới hạn của dãy tích phân trong đó \delta thay bằng xung chữ nhật diện tích 1. Giới hạn có thể tồn tại dù các xung chữ nhật cao lên vô hạn. Tình huống vật lý tương ứng là dãy kích thích ngày càng gọn cho đáp ứng ngày càng khó phân biệt, dù độ chính xác cao tới đâu (tr. 93).

Lịch sử của cách tiếp cận

Một lý thuyết chặt chẽ được xây theo hướng này, trình bày trong sách của Lighthill (1958) và Friedman (1956). Lighthill ghi công Temple đã đơn giản hóa trình bày; Temple (1953) ghi công nhà toán học Ba Lan Mikusiński (1948) đưa ra cách trình bày bằng dãy. Hai tập của Schwartz (1950, 1951) về lý thuyết phân bố (distributions) thống nhất các kỹ thuật riêng lẻ. Ý tưởng về dãy đã lưu hành trong giới vật lý từ trước 1948, xuất phát từ G. S. Kirchhoff năm 1882 (tr. 93).

Lớp S: các hàm trơn tuyệt đối

Lớp S gồm các hàm có đạo hàm mọi cấp tại mọi điểm và, cùng mọi đạo hàm, tắt ít nhất nhanh như |x|^{-N} khi |x|\to\infty, với N lớn tùy ý. Đạo hàm và biến đổi Fourier của một hàm trong S cũng thuộc S (tr. 94). Độ tắt của biến đổi phản ánh độ trơn: biến đổi của Gauss tại s=3 là 5.3e-13, còn của xung chữ nhật, |\text{sinc}(3.5)| = 0.0909, tắt chỉ như 1/s.

Dãy chính quy

Trong các dãy hàm trơn tuyệt đối, ta chọn dãy p_\tau(x) có giới hạn khi nhân với mọi hàm trơn tuyệt đối F(x) rồi lấy tích phân: gọi là dãy chính quy. Ví dụ dãy \tau^{-1}\exp(-\pi x^2/\tau^2) là chính quy; hình 5.15 nêu một dãy không chính quy. Diện tích đơn vị không bắt buộc, chẳng hạn (1+\tau^{-1})\exp(-x^2/\tau^2) cũng chính quy (tr. 94 đến 95).

Hàm suy rộng là một lớp các dãy

Một hàm suy rộng p(x) được xác định bởi một dãy chính quy. Vì giới hạn có thể như nhau với nhiều dãy, hàm suy rộng là lớp mọi dãy chính quy tương đương. Ký hiệu p(x) đại diện cho một thực thể khác hàm thường: một lớp hàm và bản thân không phải hàm, nên khi viết ở nơi quen dùng hàm thường phải nêu rõ nghĩa (tr. 95). Dãy \tau^{-1}\Pi(x/\tau) và \tau^{-1}\Lambda(x/\tau) không nằm trong định nghĩa chặt vì không có đạo hàm mọi cấp, nhưng dùng được khi chỉ cần đạo hàm bậc thấp (tr. 95 đến 96).

Chứng minh \tau^{-1}e^{-\pi x^2/\tau^2}\to\delta

Dãy e^{-\pi\tau^2x^2} xác định hàm suy rộng I(x)=1 vì \lim\int e^{-\pi\tau^2x^2}F\,dx=\int F\,dx. Dãy \tau^{-1}e^{-\pi x^2/\tau^2} xác định \delta: \bigl|\int\tau^{-1}e^{-\pi x^2/\tau^2}[F(x)-F(0)]dx\bigr|\le\max|F'|\int|x|\tau^{-1}e^{-\pi x^2/\tau^2}dx=\tau\max|F'|/\pi, tiến về 0 (tr. 96). Số đo với F=\cos x, \tau=0.1: sai lệch thật 8.0e-04 nhỏ hơn cận 3.2e-02.

Đại số: cộng và đạo hàm hàm suy rộng

Tổng của hai dãy chính quy là dãy chính quy, và không phụ thuộc cách chọn dãy, nên p+q có nghĩa (tr. 96 đến 97). Đạo hàm định nghĩa qua tích phân từng phần: \int p'F\,dx=-\int pF'\,dx, và tổng quát \int p^{(n)}F\,dx=(-1)^n\int pF^{(n)}dx. Vì F trơn tuyệt đối có đạo hàm mọi cấp nên hàm suy rộng có đạo hàm mọi cấp (tr. 97 đến 98).

Đạo hàm của hàm thường: H'=\delta

Một hàm thường tăng chậm cũng xem được như hàm suy rộng, nên H(x) có đạo hàm: \int H'F\,dx=-\int H F'\,dx=-\int_0^\infty F'dx=F(0), mà \int\delta F\,dx=F(0), nên H'=\delta (tr. 98). Số đo với F=e^{-x^2}: -\int_0^\infty F' = 1; với dãy đạo hàm của \tfrac12+\arctan(x/\tau)/\pi (Lorentz), \tau=0.1 cho 0.8965 và \tau=0.01 cho 0.9888: hội tụ về 1 nhưng chậm vì đuôi Lorentz.

Liên hệ chéo với Barkat

Barkat, mục 1.3.1 (Step and Impulse Functions) dùng đúng công cụ này cho biến ngẫu nhiên: hàm phân phối tích lũy của biến rời rạc là tổng các bậc thang \sum P_kH(x-x_k) và mật độ là tổng các xung \sum P_k\delta(x-x_k); biến hỗn hợp có cả phần liên tục và phần xung (mục 1.3.4). Module 10 ghép hai sách ở điểm này.

Tự kiểm tra phần 5

• Hàm suy rộng khác hàm thường ở điểm nào?
• Đạo hàm của hàm suy rộng được định nghĩa thế nào?
• Vì sao H'=\delta dù H không có đạo hàm tại 0?

Gợi ý: nó là một lớp dãy chính quy; bằng tích phân từng phần; vì đạo hàm được định nghĩa qua phép thử -\int HF'=F(0).

Điều cần mang theo

• \delta là dấu tắt cho dãy xung diện tích 1; dạng xung không quan trọng, chỉ tích phân có nghĩa.
• Sàng: \int\delta f=f(0); tỉ lệ: \delta(ax)=\delta/|a|; x\delta=0 nhưng có cực đại \tfrac12 trước giới hạn.
• Shah lấy mẫu khi nhân và nhân bản khi chập, và tự biến đổi; xung cách nhau X là X^{-1}\text{III}(x/X).
• \delta' là dipole: \int\delta'f=-f'(0); hàm rỗng có tích phân 0 và biến đổi 0.
• Hàm suy rộng là lớp các dãy chính quy; đạo hàm định nghĩa bằng tích phân từng phần, nên H'=\delta.