Ký hiệu cho các hàm hữu ích: Π, Λ, H, sgn, sinc, Gauss

Ký hiệu cho các hàm hữu ích: Π, Λ, H, sgn, sinc, Gauss

• Viết được hàm từng khúc bằng \Pi, \Lambda, H, \text{sgn}, R thay vì các điều kiện tách khúc.
• Dùng chuẩn hóa Gauss e^{-\pi x^2} và đọc các thông số phân tán của nó.
• Nêu tính chất của \text{sinc} và \text{sinc}^2: điểm không, diện tích, tần số cắt, vai trò lọc thông thấp.
• Hiểu vì sao tích chập với H là tích phân, và vì sao hiếm khi cần nêu H(0).
• So sánh các cửa sổ chữ nhật, tam giác và Gauss qua thùy phụ của biến đổi.

Dùng nút, chấm tròn hoặc phím ← → để chuyển slide.

Bài toán: hàm cho bằng đồ thị

Hàm f(x) bằng 0 khi x<0, bằng x khi 0\le x\le1 và bằng 1 khi x>1 đơn giản nhưng viết từng khúc thì cồng kềnh, so với biểu thức gọn của 1+x^2. Về mặt vật lý, một "bậc thang có dốc" có thể đơn giản không kém một hàm trơn (Bracewell, tr. 55).

Fourier và hàm cho bằng đồ thị

Chính Fourier quan tâm tới việc biểu diễn các hàm cho bằng đồ thị. Theo nhà toán học và sử học người Anh E. W. Hobson, ông là người đầu tiên hiểu trọn vẹn rằng một hàm có thể gồm các phần rời nhau cho tùy ý bằng đồ thị (tr. 55). Chương này giới thiệu ký hiệu để lấy lại sự gọn và rõ.

Xung chữ nhật \Pi(x)

Xung chữ nhật đơn vị cao 1 và đáy 1, tâm ở gốc (hình 4.1, tr. 55 đến 56):

Nhân với \Pi là cắt một đoạn

f(x)=\Pi(x)\cos\pi x là ký hiệu gọn cho hàm bằng \cos\pi x trong |x|<\tfrac12 và 0 ở ngoài (hình 4.2). Nhân với \Pi chọn ("cổng") một đoạn của hàm bất kỳ. Năng lượng của đoạn đó là \int\Pi(x)\cos^2\pi x\,dx = 0.5 (tr. 56).

Xung dịch, cao h, đáy b

Hàm h\,\Pi[(x-c)/b] là xung chữ nhật cao h, đáy b, tâm tại x=c (hình 4.3). Chỉ bằng nhân với một xung dịch phù hợp ta chọn được mọi đoạn với mọi biên độ và đưa phần còn lại về 0 (tr. 56). Ví dụ h=3, b=2, c=1: diện tích hb = 6, tích phân số trùng.

Xung chữ nhật đi vào đâu: trung bình trượt và lọc

• Qua tích chập, nó cho trung bình trượt (module 3).
• Ở miền tần số, nhân với nó là lọc thông thấp lý tưởng.
• Nó là "thừa số gián đoạn Dirichlet" trong lý thuyết hội tụ chuỗi Fourier.
• Các tên khác: rect x, hàm cổng, hàm cửa sổ, hàm boxcar (tr. 57).

Giá trị tại chỗ nhảy hầu như không quan trọng

Bracewell hầu như không nêu \Pi(\pm\tfrac12), và cũng không nên nhấn mạnh giá trị \tfrac12 ở giữa bước nhảy khi vẽ, giống một dao động ký chất lượng cao không hiện điểm sáng thêm giữa bước nhảy (tr. 57). Lý do: một điểm không đổi tích phân. Số đo: diện tích với \Pi(\pm\tfrac12)=0, \tfrac12 hoặc 1 khác nhau tối đa 2.0e-04, cỡ sai số của lưới.

Xung tam giác \Lambda(x)

Xung tam giác cao 1 và diện tích 1. Nó quan trọng chủ yếu vì là tự tích chập của \Pi(x), và còn cho ký hiệu gọn cho hàm đa giác, tức hàm liên tục gồm các đoạn thẳng (tr. 57). h\Lambda(x/b) có chiều cao h, đáy 2b và diện tích hb.

Thử số: \Lambda=\Pi*\Pi và hàm đa giác

Tích chập số của \Pi với chính nó trên lưới mịn lệch 1-|x| tối đa 1.1e-16, diện tích 1. Hàm đa giác qua các điểm (0,0),(1,2),(2,1),(3,3),(4,0) bằng \sum y_k\Lambda(x-k): lệch interp tối đa 1.1e-16, và tại x=2.5 bằng 2.

Bốn hàm mũ

Hình 4.5 cho từ trái sang phải: hàm mũ tăng, hàm mũ giảm, hàm mũ giảm cắt cụt và hàm mũ giảm hai phía (tr. 57).

Chuẩn hóa Gauss của Bracewell

Hàm \exp(-\pi x^2) được chọn để cả tung độ trung tâm lẫn diện tích dưới đường cong đều bằng 1, và biến đổi Fourier của nó cũng là Gauss chuẩn hóa y hệt (tr. 58). Notebook đo diện tích 1, tung độ trung tâm 1, và giá trị trung bình của x^2 là 0.1592.

Dạng thống kê và tung độ xác suất

Trong thống kê, Gauss là "phân phối chuẩn (sai số) trung bình 0" chuẩn hóa để diện tích và độ lệch chuẩn bằng 1. Khi độ lệch chuẩn là \sigma, tung độ xác suất là \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2\sigma^2}, với tung độ trung tâm 0.3989/\sigma (tr. 58). So với e^{-\pi x^2} thì \sigma=(2\pi)^{-1/2} = 0.3989.

Tích phân sai số erf, erfc và tích phân xác suất

Tích phân sai số \text{erf}\,x=\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^xe^{-t^2}dt và phần bù \text{erfc}\,x=1-\text{erf}\,x; tích phân xác suất a(x) được tra bảng rộng rãi. Với Gauss của sách, \int_0^xe^{-\pi t^2}dt=\tfrac12\text{erf}(\sqrt\pi\,x) (tr. 58 đến 59). Tại x=1: tích phân số và công thức cho 0.4939.

Các thông số phân tán của e^{-\pi x^2}

Sách nêu năm thông số (tr. 59); notebook tính lại mỗi thông số bằng hai cách (công thức đóng và tích phân số hoặc tìm nghiệm):

Bao nhiêu phần trăm nằm trong mỗi thông số?

Sai số xác suất đặc trưng cho 50 phần trăm giữa của một tập đo: "chiều cao trung bình của sinh viên là 165 ± 10 cm" nghĩa là một nửa số sinh viên nằm trong 155 đến 175 cm, trừ khi nêu thước đo khác (tr. 59). Với chuẩn, phần trăm nằm trong một độ lệch chuẩn là 68.27, trong sai số tuyệt đối trung bình 57.51, trong nửa độ rộng nửa đỉnh 76.1, trong nửa độ rộng tương đương 78.99.

Hai chiều và phân phối Rayleigh

Gauss hai chiều e^{-\pi(x^2+y^2)} vẫn tự biến đổi, có tung độ trung tâm và thể tích bằng 1. Với đối xứng tròn, xác suất tìm thấy khoảng cách trong r đến r+dr là 2\pi r\,dr nhân tung độ, nên R(r)=\frac{r}{\sigma^2}e^{-r^2/2\sigma^2}. Đó là phân phối Rayleigh (tr. 59 đến 60).

Bước đi của người say: nghịch lý đỉnh không ở gốc

Bài toán người say của Rayleigh: mỗi bước theo hướng tùy ý. Sau lâu, xác suất ở (x,y) là Gauss hai chiều (đỉnh ở gốc) nhưng xác suất ở khoảng cách r là Rayleigh (đỉnh không ở gốc). Hai điều nghe mâu thuẫn, và Bracewell mời bạn tự suy ngẫm (tr. 60). Mô phỏng 400 000 điểm: khoảng cách trung bình 1.253 (lý thuyết 1.2533), đỉnh tại 0.98, và 0.395 số điểm nằm trong r<\sigma (lý thuyết 0.3935).

Dãy Gauss cho biến đổi trong giới hạn

Dãy \exp(-\pi\tau^2x^2) khi \tau\to0 dùng để nhân với hàm có tích phân không hội tụ; giới hạn là 1. Dãy |\tau|^{-1}\exp(-\pi x^2/\tau^2) dùng để khôi phục hàm thường trong trường hợp xung bằng tích chập. Gauss hợp cho việc này vì mọi đạo hàm liên tục và nó tắt nhanh hơn mọi lũy thừa của x (tr. 60). Số đo: \int\cos x\,|\tau|^{-1}e^{-\pi x^2/\tau^2}dx=e^{-\tau^2/4\pi} bằng 0.9235 (\tau=1), 0.9803 (\tau=0.5), 0.9992 (\tau=0.1), tiến về \cos0=1.

Bậc thang đơn vị H(x)

H(x) bằng 0 khi x<0, 1 khi x>0 (và thường \tfrac12 tại 0). Nó biểu diễn điện áp bật đột ngột hoặc lực bắt đầu tác dụng tại một thời điểm rồi không đổi (hình 4.8, tr. 61). Nhân một hàm với H đưa nó về 0 ở phía âm và giữ nguyên ở phía dương.

Biểu diễn bật tắt

Sóng hình sin bật tại t=0 là \sin t\,H(t) (hình 4.10). Điện áp bằng 0 tới t_0 rồi nhảy lên giá trị E là EH(t-t_0) (hình 4.11). Mọi hàm có bước nhảy phân tích được thành một hàm liên tục cộng bậc thang dịch phù hợp (tr. 61 đến 62).

\Pi chỉ gồm các bậc thang

Xung chữ nhật có hai bước nhảy đơn vị, một dương và một âm; bỏ chúng đi thì không còn gì. Vì vậy \Pi(x)=H(x+\tfrac12)-H(x-\tfrac12) (hình 4.9, tr. 61). Notebook kiểm bằng số trên lưới: yes, kể cả tại x=\pm\tfrac12 với H(0)=\tfrac12.

Hàm dốc R(x)=xH(x)

(F/m)R(t) là vận tốc của khối lượng m chịu lực không đổi FH(t), hoặc dòng điện trong cuộn cảm m khi đặt hiệu điện thế FH(t). R là tích phân của H và H là đạo hàm của R (hình 4.12, tr. 61 đến 62). Notebook: tích chập số H*H tại x=2 cho 2, đúng R(2).

Tích chập với H là tích phân

Vì H(x-x') bằng 0 khi x'>x, các tích phân có cận thay đổi trở thành cận cố định: \int_{-\infty}^xf(x')dx'=\int f(x')H(x-x')dx'. Do đó H*f là tích phân của f (hình 4.13, tr. 62 đến 63). Với f=e^{-\pi x^2} tại x=0.5: tích chập số với bậc thang cho 0.8945, đúng \tfrac12[1+\text{erf}(\sqrt\pi\,x)] (lệch tối đa 0.001).

Giá trị H(0) và điều nhất quán

Thường không cần định nghĩa H(0), nhưng để tương thích với lý thuyết hàm đơn trị nên gán \tfrac12. Khi đó R'(0+)=1, R'(0-)=0, và đạo hàm đối xứng tại 0 bằng \tfrac12; tích phân Fourier hội tụ tại điểm gián đoạn cũng cho giá trị giữa (tr. 63). Số đo: [R(\Delta)-R(-\Delta)]/2\Delta = 0.5.

Chọn H(0)=0 và hàm rỗng

Không bắt buộc lấy H(0)=\tfrac12; đôi khi lấy 0, như hệ quả của cách nhìn \hat H(x)=\lim_{\tau\to0}(1-e^{-x/\tau})H(x) (hình 4.14). Khi đó H=\hat H+\tfrac12\delta^{\circ} với \delta^{\circ} là một hàm rỗng: bằng 0 mọi nơi trừ gốc, tích phân luôn bằng 0 (tr. 63 đến 64). Số đo: \int(H-\hat H)\,dx=\tau = 0.01 khi \tau=0.01, tiến về 0.

Xấp xỉ liên tục của H

Sách liệt kê nhiều xấp xỉ trơn tiến về H(x) khi \tau\to0, chẳng hạn \tfrac12+\frac1\pi\arctan\frac x\tau, tích phân của một đường Lorentz (tr. 64). Tại x=0.1: với \tau=0.1 được 0.75, với \tau=0.01 được 0.9683, tiến về 1. Khác biệt giữa H và mọi phiên bản có H(0)\ne\tfrac12 là một hàm rỗng, vô hình với phép đo vật lý có độ phân giải hữu hạn nên nói tới H(0) là không cần thiết (tr. 64 đến 65).

Hàm dấu \text{sgn}\,x

\text{sgn}\,x bằng +1 hoặc -1 theo dấu của x, và \text{sgn}\,x=2H(x)-1 (bước nhảy 2). Khác H, nó là hàm lẻ, còn H có cả phần chẵn (\tfrac12) lẫn phần lẻ (\tfrac12\text{sgn}\,x): notebook xác nhận yes. Hơn nữa \lim\int_{-a}^{a}\text{sgn}\,x\,dx=0 còn \int_{-a}^{a}H\,dx=a không tồn tại khi a\to\infty (tr. 65).

Định nghĩa và tính chất của \text{sinc}\,x

\text{sinc}\,x=\sin\pi x/\pi x có \text{sinc}\,0=1, triệt tiêu tại mọi số nguyên khác 0, và tổng diện tích bằng 1. Từ "sinc" xuất hiện ở Woodward (1953) và được dùng rộng rãi; bảng giá trị ở tr. 508 (tr. 65 đến 66). Notebook: \text{sinc}(3) = 0; \int_0^{100}\text{sinc} = 0.499, tiến về \tfrac12 (nửa diện tích 1).

Sinc và \Pi là một cặp biến đổi

Tính chất đặc biệt của sinc bắt nguồn từ đặc tính phổ: nó chứa mọi tần số tới một giới hạn và không có tần số nào vượt qua, với phổ phẳng tới tần số cắt. Theo cách chọn ký hiệu, \text{sinc}\,x và \Pi(s) là một cặp biến đổi Fourier, nên tần số cắt của sinc là 0.5 chu kỳ trên đơn vị x (tr. 66). Số đo: \int_{-1/2}^{1/2}e^{i2\pi sx}ds tại x=0.3 là 0.8584, đúng \text{sinc}(0.3).

Sinc trong tích chập: lọc thông thấp lý tưởng và nội suy

Khi \text{sinc} tham gia tích chập, nó lọc thông thấp lý tưởng: bỏ mọi thành phần trên tần số cắt và giữ nguyên mọi thành phần dưới. Trong điều kiện đặc biệt (định lý lấy mẫu, chương 10) nó còn nội suy (tr. 66). Thử số: tín hiệu \cos2\pi(0.2)t+\cos2\pi(0.8)t chập với sinc cắt cụt: độ lợi tại 0.2 là 0.998 và tại 0.8 là 0.001; bộ lọc vuông góc qua FFT cho 1 và 0.001.

Tích phân của sinc: sine integral \text{Si}

Với \text{Si}\,x=\int_0^x\frac{\sin u}{u}du, ta có \int_0^x\text{sinc}\,u\,du=\text{Si}(\pi x)/\pi, \text{sinc}\,x=\frac{d}{dx}\frac{\text{Si}(\pi x)}{\pi} và H*\text{sinc}=\tfrac12+\text{Si}(\pi x)/\pi (hình 4.16, tr. 66 đến 67). Đường tích phân vượt qua 1 trước khi trở về: cực đại là 1.0895 tại x=1, đây là tràn quá kiểu Gibbs.

Sinc bình phương

\text{sinc}^2x biểu diễn giản đồ bức xạ công suất của ăng-ten kích thích đều, hoặc cường độ ánh sáng trong nhiễu xạ Fraunhofer qua một khe. Có phổ cắt vì bình phương không tạo tần số cao hơn tổng tần số của mọi cặp thành phần. Biến đổi của nó là \Lambda(s), tần số cắt 1 chu kỳ trên đơn vị (hình 4.17, tr. 66 đến 68). Số đo: \text{sinc}^2(0.5) = 0.4053 bằng cả \int\Lambda(s)e^{i2\pi s/2}ds lẫn công thức; diện tích 1.

Hàm tương tự hai chiều: \text{jinc}

Trong hai chiều, hàm tương tự là J_1(\pi r)/2r, có thể tích 1, giá trị trung tâm \pi/4 và biến đổi hai chiều là xung tròn. Một tổng quát khác với tính chất lọc và nội suy tương tự là \text{sinc}\,x\,\text{sinc}\,y, có biến đổi \Pi(u)\Pi(v) (tr. 68). Số đo: giá trị trung tâm 0.7854 và điểm không đầu tiên tại r = 1.2197, bán kính của đĩa Airy trong quang học.

Quy ước vẽ đồ thị

Để rõ ràng, các định lý về biến đổi được minh họa bằng ví dụ thực khi có thể, và đánh dấu các điểm mà hoành độ và tung độ bằng 1. Đại lượng thuần ảo luôn vẽ bằng nét đứt, nên đại lượng phức được biểu diễn rõ bằng phần thực và phần ảo (hình 4.18); cũng có thể vẽ môđun và pha (hình 4.19), vẽ ba chiều (hình 4.20) hoặc vẽ giá trị F(s) trên mặt phẳng phức (hình 4.21) (tr. 68 đến 69).

Bảng 4.1: các ký hiệu đặc biệt

Bracewell tổng hợp các ký hiệu (tr. 70):

Viết lại hàm mở đầu

Hàm f(x) ở đầu chương (0, rồi x trên [0,1], rồi 1) là R(x)-R(x-1), cũng là x\,\Pi(x-\tfrac12)+H(x-1). Ba cách viết đều trùng khớp trên lưới (yes); tại x=0.4 bằng 0.4.

Bảng cặp biến đổi cho các hàm vừa học

Sách sẽ tra cứu các cặp này ở chương 22; ở đây ta kiểm bằng số tại s=0.3 (tích phân số so với công thức; 5 trên 5 cặp đúng):

Ba cửa sổ: chữ nhật, tam giác, Gauss

Cắt tín hiệu bằng một cửa sổ nhân phổ với biến đổi của cửa sổ. Biến đổi của \Pi là \text{sinc}\,s, của \Lambda là \text{sinc}^2s, của Gauss là Gauss. Thùy phụ đầu của \text{sinc} có độ lớn 0.2172 (-13.26 dB), thùy phụ đầu của \text{sinc}^2 chỉ 0.0472 (-26.52 dB), còn Gauss không có thùy phụ. Đây là lý do rò phổ ở module 1 nặng với cửa sổ chữ nhật.

Đánh đổi: thùy phụ và bề rộng thùy chính

Cửa sổ tam giác hạ thùy phụ nhưng thùy chính rộng gấp đôi (điểm không tại |s|=1 so với 0.5 của chữ nhật khi cùng bề rộng chân b=1; tam giác đáy 2 cho điểm không tại 1). Không có cửa sổ nào cùng lúc có thùy phụ thấp và thùy chính hẹp; đây là biểu hiện của quan hệ bất định (chương 8).

Khe quét là tích chập với \Pi

Rãnh âm thanh quang học trên phim cũ được quét bằng khe rộng w, và việc quét đưa vào tích chập với xung chữ nhật rộng w (bài tập 23 chương 3, tr. 53). Với rãnh hình sin chu kỳ p=1: khe w=0.25 giữ 0.9003, w=0.5 giữ 0.6366, w=1 giữ 0 (tiếng bị triệt tiêu hoàn toàn). Độ lợi là \text{sinc}(wf_0).

Trung bình trượt L điểm và sinc

Trung bình trượt là tích chập với \Pi nên đáp ứng tần số là sinc, chính xác hơn là nhân Dirichlet cho dãy rời rạc. Với L=8 tại f=0.05 chu kỳ trên mẫu: giá trị chính xác 0.7599 (đo bằng freqz và bằng công thức) và xấp xỉ sinc 0.7568. Xấp xỉ tốt khi L lớn và f nhỏ.

Mẹo dùng bộ ký hiệu

• Đặt H(0)=\tfrac12 hoặc không nêu; đừng nhấn mạnh giá trị tại bước nhảy khi vẽ (tr. 57, 63).
• Dùng H để đưa cận tích phân thay đổi về cận cố định (tr. 62).
• Chọn e^{-\pi x^2} khi cần tự biến đổi; đổi về thống kê bằng \sigma=(2\pi)^{-1/2} (tr. 58).
• Vẽ đại lượng ảo bằng nét đứt (tr. 68).

Liên hệ chéo với Barkat

Gauss và Rayleigh của module này chính là các phân phối ở Barkat mục 2.3.2 (Normal) và 2.3.6 (Rayleigh, Rice, Maxwell). Hàm bậc thang và xung được Barkat dùng ở mục 1.3.1 để viết phân phối tích lũy và mật độ của biến ngẫu nhiên rời rạc: F_X(x)=\sum_kP_k\,H(x-x_k). Module 11 dùng cả hai.

Tự kiểm tra

• Viết \Lambda(x) bằng \Pi và viết \Pi(x) bằng H.
• Sinc triệt tiêu ở đâu và tần số cắt của nó là bao nhiêu?
• Vì sao đỉnh của Rayleigh không nằm ở gốc dù Gauss hai chiều có đỉnh ở gốc?

Gợi ý: \Pi*\Pi và H(x+\tfrac12)-H(x-\tfrac12); số nguyên khác 0 và 0.5; vì diện tích vòng 2\pi r\,dr tăng theo r.

Điều cần mang theo

• \Pi là cổng, \Lambda=\Pi*\Pi là tam giác, và tổ hợp H, R dựng mọi hàm đa giác và bật tắt.
• Gauss e^{-\pi x^2} có tung độ trung tâm và diện tích bằng 1 và tự biến đổi; \sigma=(2\pi)^{-1/2}.
• Tích chập với H là tích phân; H(0) hầu như không cần nêu; \text{sgn}\,x=2H-1 là hàm lẻ.
• \text{sinc}\,x\supset\Pi(s): điểm không tại số nguyên, tần số cắt 0.5, lọc thông thấp lý tưởng; \text{sinc}^2\supset\Lambda với tần số cắt 1.
• Cửa sổ tam giác hạ thùy phụ so với chữ nhật, đánh đổi bằng thùy chính rộng hơn.