Phát hiện và ước lượng dạng sóng

Phát hiện và ước lượng dạng sóng

• Dùng khai triển Karhunen–Loève để rút gọn phát hiện tín hiệu liên tục trong nhiễu trắng về một bài toán Gauss hữu hạn chiều, và suy ra bộ thu tương quan/phối hợp.
• Suy ra kiểm định nhị phân tổng quát với hai tín hiệu tương quan hệ số \rho, và nhận ra tín hiệu đối cực (\rho=-1) tối ưu.
• Mở rộng sang phát hiện M-phân, dựng bộ thu "lớn nhất" cho tín hiệu trực giao cùng năng lượng, và tính xác suất lỗi bằng tích phân.
• Ước lượng hợp lý cực đại một tham số tín hiệu tuyến tính bằng bộ tương quan, và xác nhận nó đạt cận Cramér–Rao.
• Suy ra kiểm định tỉ số khả dĩ cho tín hiệu pha ngẫu nhiên, nhận ra hàm Bessel I_0, và dựng bộ lọc phối hợp không kết hợp (thu vuông góc).

Dùng nút, chấm tròn hoặc phím ← → để chuyển slide.

Từ tham số rời rạc sang dạng sóng liên tục

Ở các chương 5, 6, 9 (module 21, 22, 24), quan sát là một số hữu hạn biến ngẫu nhiên. Chương này mở rộng sang dạng sóng liên tục: dưới H_1, máy phát gửi tín hiệu tất định đã biết s(t); dưới H_0, không gửi gì. Tại bộ thu, H_1{:}\,Y(t)=s(t)+W(t), H_0{:}\,Y(t)=W(t), 0\le t\le T, với W(t) nhiễu Gauss trắng trung bình 0, mật độ phổ công suất hai phía N_0/2 (Barkat, tr. 533 đến 535).

Karhunen–Loève: đổi tín hiệu liên tục thành các hệ số rời rạc

Để dùng lại khung chương 5, cần một tập biến ngẫu nhiên đếm được. Khai triển Karhunen–Loève biểu diễn Y(t) qua các hệ số Y_k=\int_0^TY(t)\varphi_k(t)\,dt theo một tập hàm cơ sở trực chuẩn đầy đủ \{\varphi_k(t)\}. Chọn \varphi_1(t)=s(t)/\sqrt E (với E=\int_0^Ts^2(t)\,dt là năng lượng tín hiệu) làm hàm cơ sở đầu tiên; các \varphi_k(t), k\ge2, chỉ cần trực giao với \varphi_1(t) (Barkat, tr. 535 đến 536).

Chỉ Y_1 mang thông tin về giả thuyết

Với cách chọn này, Y_1=\sqrt E+W_1 dưới H_1 và Y_1=W_1 dưới H_0; mọi hệ số Y_k, k\ge2, chỉ bằng W_k (hệ số nhiễu Karhunen–Loève) bất kể giả thuyết nào — không mang thông tin quyết định. Vì các W_j,W_k không tương quan và đồng thời Gauss nên độc lập thống kê; do đó Y_k, k\ge2, độc lập với Y_1 và không ảnh hưởng quyết định. Thống kê đủ là T(Y)=Y_1 — không gian quan sát vô hạn chiều rút về một chiều duy nhất (Barkat, tr. 536 đến 537).

Chính là Ví dụ 5.1, chỉ khác cách sinh dữ liệu

Vì W_1 Gauss trung bình 0, phương sai E[W_1^2]=(N_0/2)\int_0^T\varphi_1^2(t)\,dt=N_0/2 (do \int\varphi_1^2=1), bài toán rút về đúng Y_1=\sqrt E+W_1 hay Y_1=W_1 với m=\sqrt E, \sigma^2=N_0/2 — chính là Ví dụ 5.1 (module 21) (Barkat, tr. 537). Áp trực tiếp kết quả đó: ngưỡng \gamma=(N_0/2\sqrt E)\ln\eta+\sqrt E/2, và tham số phát hiện d^2=2E/N_0.

Bộ thu tương quan và bộ lọc phối hợp

Có hai cách hiện thực hóa việc tính Y_1=\int_0^Ty(t)\varphi_1(t)\,dt: bộ thu tương quan (nhân y(t) với \varphi_1(t) rồi tích phân) hoặc bộ lọc phối hợp (matched filter) với đáp ứng xung h(t)=\varphi_1(T-t), 0\le t\le T, lấy mẫu đầu ra tại t=T (Barkat, tr. 537 đến 538). Cả hai cho cùng Y_1; bộ lọc phối hợp có tên gọi vì đáp ứng xung của nó khớp (matched) với dạng đảo thời gian của tín hiệu cần dò.

Số đo: d^2, ngưỡng, P_D,P_F khớp mô phỏng

Số đo: với E=4, N_0=1, \eta=1: d^2=2E/N_0 = 8, ngưỡng \gamma = 1. Mô phỏng Monte Carlo 300\,000 lần: P_D lý thuyết Q((\gamma-\sqrt E)/\sqrt{N_0/2}) = 0.9214 khớp mô phỏng 0.9216; P_F lý thuyết Q(\gamma/\sqrt{N_0/2}) = 0.0786 khớp mô phỏng 0.0785.

Tự kiểm tra phần 1

• Vì sao chỉ Y_1 mang thông tin quyết định, còn Y_k, k\\ge2, thì không?
• Bộ lọc phối hợp có đáp ứng xung dạng nào?
• Tham số phát hiện d^2 của phát hiện nhị phân đơn giản bằng công thức nào?

Gợi ý: vì \varphi_1 được chọn theo dạng tín hiệu, còn các \varphi_k khác chỉ chứa nhiễu bất kể giả thuyết; h(t)=\varphi_1(T-t); d^2=2E/N_0.

Hai tín hiệu bất kỳ: cần hai hàm cơ sở

Tổng quát hóa: H_1{:}\,Y(t)=s_1(t)+W(t), H_0{:}\,Y(t)=s_0(t)+W(t), với năng lượng E_1,E_0 và hệ số tương quan \rho=\frac{1}{\sqrt{E_0E_1}}\int_0^Ts_0(t)s_1(t)\,dt, -1\le\rho\le1. Dùng Gram–Schmidt: \varphi_1(t)=s_1(t)/\sqrt{E_1}, và \varphi_2(t) là phần của s_0(t) trực giao với \varphi_1(t), chuẩn hóa lại (Barkat, tr. 544 đến 546).

Bài toán rút về hai chiều: chính là module 24, phần 2

Trong hệ tọa độ mới, Y_1,Y_2 độc lập Gauss, hiệp phương sai C=(N_0/2)I giống nhau dưới cả hai giả thuyết, với trung bình vector m_1=[\sqrt{E_1},0]^T, m_0=[\rho\sqrt{E_0},\sqrt{E_0(1-\rho^2)}]^T (Barkat, tr. 546 đến 548). Đây chính xác là bài toán đồng hiệp phương sai của module 24: kiểm định tuyến tính hóa thành T(y)=y^T(m_1-m_0)\gtrless\gamma_1, và có thể viết lại bằng một bộ tương quan duy nhất, T(y)=\int_0^Ty(t)[s_1(t)-s_0(t)]\,dt.

Tham số phát hiện và xác suất lỗi

Tính d^2=\Delta m^TC^{-1}\Delta m với C=(N_0/2)I: d^2=\dfrac{2}{N_0}(E_1+E_0-2\rho\sqrt{E_1E_0}) (Barkat, tr. 550 đến 551). Với xác suất tiên nghiệm bằng nhau, tiêu chuẩn xác suất lỗi tối thiểu, kết quả module 21 áp trực tiếp: P(\varepsilon)=Q(d/2)=Q\!\left(\sqrt{2\alpha/N_0}\right), với \alpha\triangleq E_1+E_0-2\rho\sqrt{E_1E_0} (Barkat, tr. 551 đến 552).

Vì sao tín hiệu đối cực (\rho=-1) luôn tối ưu

P(\varepsilon) giảm khi \alpha tăng (với N_0 cố định); từ \alpha=E_1+E_0-2\rho\sqrt{E_1E_0}, với năng lượng E_1,E_0 cố định, \alpha cực đại khi \rho cực tiểu, tức \rho=-1 (Barkat, tr. 552). Khi đó s_0(t)=-s_1(t) — tín hiệu đối cực (antipodal). Nếu thêm E_0=E_1=E, kiểm định rút gọn thành T(y)=y^T(m_1-m_0)\gtrless0 — ngưỡng đúng giữa hai tín hiệu, không lệch về bên nào.

Số đo: P(\varepsilon) theo \rho, xác nhận đối cực tối ưu

Số đo: với E_1=4, E_0=3, N_0=1, \rho=-0.5: \alpha = 10.4641, d^2 = 20.9282, P(\varepsilon) lý thuyết = 0.0111, mô phỏng Monte Carlo 300\,000 lần khớp 0.0111. So sánh ba trường hợp cùng năng lượng: \rho=-1 (đối cực) cho P(\varepsilon) = 0.0042, nhỏ hơn hẳn \rho=0 (trực giao) cho 0.0307, và cả hai đều nhỏ hơn \rho=-0.5 ở trên — xác nhận đối cực luôn tốt nhất.

Tự kiểm tra phần 2

• Hệ số tương quan \\rho giữa hai tín hiệu đo mức gì?
• Tại sao bài toán phát hiện nhị phân tổng quát rút gọn đúng về module 24?
• Giá trị \\rho nào cho xác suất lỗi nhỏ nhất, với năng lượng tín hiệu cố định?

Gợi ý: mức tương tự dạng sóng giữa s_0(t) và s_1(t); vì sau Gram–Schmidt, hiệp phương sai bằng nhau dưới cả hai giả thuyết (C=(N_0/2)I); \rho=-1 (tín hiệu đối cực).

Từ hai giả thuyết lên M giả thuyết

Tổng quát hóa: H_k{:}\,Y(t)=s_k(t)+W(t), k=1,\ldots,M, mỗi tín hiệu năng lượng E_k, có thể tương quan với nhau qua hệ số \rho_{jk} (Barkat, tr. 557 đến 558). Dùng Gram–Schmidt trên M tín hiệu, chỉ cần K\le M hàm cơ sở nếu chỉ K trong M tín hiệu độc lập tuyến tính. Mọi Y_k, k>K, chỉ chứa nhiễu, không ảnh hưởng quyết định — không gian quan sát vô hạn chiều rút về K chiều.

MAP rút về ML khi xác suất tiên nghiệm bằng nhau

Quyết định tối ưu chọn giả thuyết cực đại xác suất hậu nghiệm P(H_j|Y) (module 21). Nếu P_j=1/M với mọi j, việc cực đại hậu nghiệm tương đương cực đại f_{Y|H_j}(y|H_j) — tiêu chuẩn MAP rút về ML. Vì mật độ Gauss, cực đại f_{Y|H_j} tương đương cực tiểu \sum_{k=1}^K(y_k-s_{kj})^2=\|y-s_j\|^2 — khoảng cách Euclid bình phương giữa quan sát và mỗi tín hiệu (Barkat, tr. 559 đến 560).

Tín hiệu trực giao, cùng năng lượng: bộ thu "lớn nhất"

Nếu mọi tín hiệu có cùng năng lượng E, khai triển \|y-s_j\|^2=\|y\|^2-2y^Ts_j+E; vì \|y\|^2 và E giống nhau ở mọi j, cực tiểu khoảng cách tương đương cực đại y^Ts_j=\int_0^Ty(t)s_j(t)\,dt (Barkat, tr. 560). Bộ thu tối ưu tính M giá trị tương quan T_j(y)=\int_0^Ty(t)s_j(t)\,dt và chọn giả thuyết có giá trị lớn nhất — gọi là bộ thu \"lớn nhất\" (\"largest of\" receiver).

Xác suất lỗi cho M tín hiệu trực giao

Với tín hiệu trực giao (\rho_{jk}=0), các T_k độc lập Gauss: dưới H_1, T_1\sim\mathcal N(E,N_0/2) còn T_k\sim\mathcal N(0,N_0/2), k\ge2. Xác suất quyết định đúng là P_c=P(T_2<T_1,\ldots,T_M<T_1|H_1), tính bằng tích phân lồng: P_c=\int_{-\infty}^\infty f_{T_1|H_1}(t_1|H_1)\left[\int_{-\infty}^{t_1}f_{T_k|H_1}(t_k|H_1)\,dt_k\right]^{M-1}dt_1, và P(\varepsilon)=1-P_c (Barkat, tr. 560 đến 562).

Số đo: tích phân đóng khớp mô phỏng trực tiếp

Số đo: với M=4, E=2, N_0=1: xác suất lỗi tính bằng tích phân số của công thức trên là 0.1772, và mô phỏng Monte Carlo 300\,000 lần (sinh trực tiếp T_1,\ldots,T_M độc lập Gauss và đếm số lần một T_k, k\ge2, vượt T_1) cho 0.1766 — khớp nhau, xác nhận công thức tích phân đúng mà không cần bảng tra hay xấp xỉ.

Tự kiểm tra phần 3

• Khi xác suất tiên nghiệm bằng nhau, tiêu chuẩn MAP rút gọn thành tiêu chuẩn nào?
• Bộ thu \"lớn nhất\" áp dụng được khi tín hiệu thỏa điều kiện gì?
• Xác suất lỗi cho M tín hiệu trực giao được tính bằng cách nào?

Gợi ý: tiêu chuẩn hợp lý cực đại (ML); khi mọi tín hiệu trực giao và cùng năng lượng; bằng tích phân lồng của các mật độ Gauss độc lập.

Mô hình: tham số nhân tuyến tính vào dạng sóng đã biết

Xét Y(t)=\theta s(t)+W(t), 0\le t\le T, với s(t) đã biết (năng lượng E) và \theta là tham số vô hướng cần ước lượng — ví dụ biên độ tín hiệu chưa biết. Ánh xạ \theta\mapsto\theta s(t) tuyến tính (s(t,\theta_1+\theta_2)=s(t,\theta_1)+s(t,\theta_2)), nên gọi là bài toán ước lượng tuyến tính (Barkat, tr. 572 đến 573).

Lại rút về Y_1: đúng kỹ thuật Karhunen–Loève của phần 1

Dùng cùng \varphi_1(t)=s(t)/\sqrt E: Y_1=\int_0^TY(t)\varphi_1(t)\,dt=\theta\sqrt E+W_1, còn Y_k, k>1, chỉ bằng W_k, không phụ thuộc \theta. Do đó Y_1 là thống kê đủ cho \theta, Gauss trung bình \theta\sqrt E, phương sai N_0/2 (Barkat, tr. 573).

Ước lượng ML: giải phương trình hợp lý cho Y_1 Gauss

Hàm hợp lý L(\theta)=f_{Y_1|\Theta}(y_1|\theta) Gauss theo \theta; giải \partial\ln L/\partial\theta=0 cho (\sqrt E/N_0)(y_1-\theta\sqrt E)\cdot2=0, tức \hat\theta_{ml}=Y_1/\sqrt E — bộ tương quan giữa Y(t) và s(t), chuẩn hóa theo \sqrt E (Barkat, tr. 573 đến 574). Về mặt vật lý, đây chính là bộ thu tương quan của phần 1, chỉ đọc ra biên độ ước lượng thay vì đưa ra quyết định nhị phân.

Không chệch và đạt cận Cramér–Rao

E[\hat\theta_{ml}]=E[Y_1]/\sqrt E=\theta\sqrt E/\sqrt E=\theta — không chệch. Từ đạo hàm hàm hợp lý, \partial\ln L/\partial\theta=(2\sqrt E/N_0)(y_1-\theta\sqrt E) có đúng dạng c(\theta)[\hat\theta-\theta] với c=2E/N_0 — điều kiện hiệu quả của module 22 (Barkat, tr. 574 đến 575). Cận Cramér–Rao đạt được đúng bằng N_0/(2E).

Số đo: kỳ vọng, phương sai, và cận Cramér–Rao khớp mô phỏng

Số đo: với E=4, N_0=1, \theta thật = 2.3, mô phỏng 300\,000 lần: trung bình \hat\theta_{ml} đo được là 2.2989 (khớp \theta=2.3); phương sai đo được là 0.1249, khớp cận Cramér–Rao N_0/(2E) = 0.125 — xác nhận \hat\theta_{ml} vừa không chệch vừa hiệu quả.

Tự kiểm tra phần 4

• Vì sao mô hình Y(t)=\\theta s(t)+W(t) được gọi là bài toán ước lượng \"tuyến tính\"?
• Ước lượng ML \\hat\\theta_{ml} tương ứng với thiết bị vật lý nào đã gặp ở phần 1?
• Phương sai của \\hat\\theta_{ml} đạt đúng đại lượng nào?

Gợi ý: vì ánh xạ \theta\mapsto\theta s(t) thỏa nguyên lý chồng chất tuyến tính; bộ thu tương quan (correlator); cận Cramér–Rao N_0/(2E).

Khi tín hiệu không hoàn toàn biết trước: tham số không mong muốn

Trong nhiều ứng dụng (tín hiệu dội về ở radar, kênh fading), tín hiệu thu có một hay nhiều tham số không biết — gọi là tham số không mong muốn (unwanted parameters), khác với các phần trước nơi s_1(t),s_0(t) hoàn toàn xác định trước. Nếu tham số ngẫu nhiên với mật độ tiên nghiệm đã biết, lấy trung bình tỉ số khả dĩ theo mật độ đó khi K\to\infty trong khai triển Karhunen–Loève (Barkat, tr. 580 đến 582).

Ví dụ chuẩn: pha ngẫu nhiên đều trên [-\pi,\pi]

Xét H_1{:}\,Y(t)=A\cos(\omega_ct+\Theta)+W(t), H_0{:}\,Y(t)=W(t), biên độ A và tần số \omega_c đã biết, còn pha \Theta ngẫu nhiên đều trên [-\pi,\pi] (Barkat, tr. 583 đến 584). Định nghĩa hai thành phần vuông pha y_c=\int_0^Ty(t)\cos\omega_ct\,dt, y_s=\int_0^Ty(t)\sin\omega_ct\,dt; khai triển \cos(\omega_ct+\theta)=\cos\omega_ct\cos\theta-\sin\omega_ct\sin\theta để tách phần phụ thuộc \theta.

Trung bình theo pha: xuất hiện hàm Bessel I_0

Lấy trung bình tỉ số khả dĩ theo \theta đều trên [-\pi,\pi] cho \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\exp\left[\frac{2A}{N_0}(y_c\cos\theta-y_s\sin\theta)\right]d\theta — đúng định nghĩa tích phân của hàm Bessel biến đổi bậc 0: \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{a\cos x+b\sin x}\,dx=I_0(\sqrt{a^2+b^2}) (Barkat, tr. 584 đến 585). Kết quả: \Lambda=e^{-A^2T/2N_0}I_0\!\left(\frac{2A}{N_0}\sqrt{y_c^2+y_s^2}\right).

Kiểm định chỉ cần bao hình r: bộ lọc phối hợp không kết hợp

Vì I_0(\cdot) tăng đơn điệu, kiểm định \Lambda\gtrless\eta tương đương r=\sqrt{y_c^2+y_s^2}\gtrless\gamma_2 — chỉ cần bao hình của hai thành phần vuông pha, không cần biết pha thật \Theta (Barkat, tr. 585 đến 587). Hiện thực bằng bộ lọc phối hợp (hay tương quan) với \cos\omega_ct và \sin\omega_ct, bình phương từng nhánh, cộng lại, rồi so ngưỡng — gọi là bộ lọc phối hợp không kết hợp (incoherent matched filter) hay bộ thu vuông pha (quadrature receiver).

Số đo: tích phân trung bình theo pha khớp hàm Bessel đóng

Số đo: với A=1.5, N_0=1, tín hiệu pha thật \theta=0.7 rad, tính y_c,y_s từ một đoạn tín hiệu mẫu, rồi r=\sqrt{y_c^2+y_s^2}. Tích phân số trực tiếp \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\exp\left[\frac{2A}{N_0}(y_c\cos\theta-y_s\sin\theta)\right]d\theta cho 2.7172, khớp giá trị hàm Bessel đóng I_0(2Ar/N_0) = 2.7172 — xác nhận công thức I_0 đúng, không cần giả định gì thêm ngoài định nghĩa tích phân của nó.

Tự kiểm tra phần 5

• Tham số \"không mong muốn\" khác tham số đã biết trước ở điểm nào?
• Việc lấy trung bình tỉ số khả dĩ theo pha ngẫu nhiên đều dẫn tới hàm đặc biệt nào?
• Bộ lọc phối hợp không kết hợp chỉ cần biết đại lượng nào của tín hiệu thu, không cần biết pha thật?

Gợi ý: giá trị của nó không biết trước, chỉ biết mật độ xác suất (ngẫu nhiên); hàm Bessel biến đổi bậc 0, I_0; bao hình r=\sqrt{y_c^2+y_s^2} của hai thành phần vuông pha.

Điều cần mang theo

• Khai triển Karhunen–Loève rút gọn phát hiện dạng sóng liên tục trong nhiễu trắng về một bài toán Gauss hữu hạn chiều; với phát hiện nhị phân đơn giản, chỉ một chiều duy nhất (Y_1) mang thông tin — chính là Ví dụ 5.1.
• Phát hiện nhị phân tổng quát rút về đúng bài toán đồng hiệp phương sai của module 24: d^2=2(E_1+E_0-2\rho\sqrt{E_1E_0})/N_0; tín hiệu đối cực (\rho=-1) luôn tối ưu.
• Phát hiện M-phân với xác suất tiên nghiệm bằng nhau rút MAP về ML (khoảng cách nhỏ nhất); tín hiệu trực giao cùng năng lượng cho bộ thu "lớn nhất", xác suất lỗi tính bằng tích phân lồng các mật độ Gauss độc lập.
• Ước lượng tuyến tính \theta s(t) dùng lại đúng kỹ thuật Karhunen–Loève, cho \hat\theta_{ml}=Y_1/\sqrt E — một bộ tương quan, không chệch, đạt cận Cramér–Rao N_0/(2E).
• Với pha ngẫu nhiên (tham số không mong muốn), lấy trung bình tỉ số khả dĩ cho hàm Bessel I_0; kiểm định tối ưu chỉ cần bao hình r=\sqrt{y_c^2+y_s^2} — bộ lọc phối hợp không kết hợp.