Giới thiệu: vì sao dùng biến đổi Fourier

Giới thiệu: vì sao dùng biến đổi Fourier

• Giải thích được ý tưởng "đổi miền rồi giải" của mọi phép biến đổi tuyến tính.
• Nêu hai điều kiện (tuyến tính, bất biến theo thời gian) để sóng điều hòa vào cho sóng điều hòa cùng tần số ra.
• Đọc phổ từ FFT, biết rò phổ và pha, và kiểm tra bằng phép tính trực tiếp.
• Nhận ra ký hiệu \Pi, \delta, \text{III} và dấu * mà cả giáo trình sẽ dùng.
• Biết hai giáo trình gốc của khóa (Bracewell và Barkat) gặp nhau ở đâu.

Dùng nút, chấm tròn hoặc phím ← → để chuyển slide.

Đổi miền, giải, rồi đổi ngược

Bracewell mở đầu: các phép biến đổi tuyến tính mang tên Fourier và Laplace là kỹ thuật giải bài toán trong hệ tuyến tính. Ta dùng phép biến đổi như một công cụ toán học hoặc vật lý để đổi bài toán thành một bài toán giải được (tr. 1).

1. Biến đổi bài toán sang miền tần số.
2. Giải ở đó, thường chỉ cần nhân và chia.
3. Biến đổi ngược để lấy đáp án trong miền gốc.

Cặp biến đổi Fourier

• f(x)hàm gốc theo biến x (thời gian hoặc không gian)
• F(s)biến đổi Fourier, hàm của tần số s
• stần số: số chu kỳ trên một đơn vị của x

Ví dụ số: tích chập thành phép nhân

Tích chập nối tiếp ("serial product") của \{2,2,3,3,4\} và \{1,1,2\} được Bracewell tính tay ở tr. 32. Notebook tính bằng hai cách: tổng trực tiếp và nhân hai FFT rồi biến đổi ngược. Cả hai cho dãy 2 4 9 10 13 10 8.

Fourier đi trước Laplace

Đi qua Fourier trước, nên khi Laplace tổng quát hơn xuất hiện ở chương sau, nhiều tính chất đã quen. Ta chỉ còn phải chú ý câu hỏi mới và thiết yếu: dải hội tụ trên mặt phẳng phức (tr. 1).

Một định lý, nhiều hóa thân

Bracewell nhận xét rằng cùng một khái niệm hay xuất hiện dưới dạng khác ở lĩnh vực khác: nguyên lý kính hiển vi tương phản pha gợi nhớ mạch tách điều tần, và cả hai được giải thích bằng cùng cách dùng biến đổi. Một bài toán thống kê có thể giải bằng cách quen thuộc từ các tầng khuếch đại nối tiếp (tr. 1).

Đây cũng là lý do khóa này ghép Bracewell với Barkat: cùng một tích chập xuất hiện trong lọc tín hiệu và trong phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên.

Đảo thứ tự truyền thống

Trong các giáo trình cổ điển, biến đổi Fourier thường xuất hiện ở bài giảng cuối của một khóa dài về chuỗi Fourier. Nếu đảo thứ tự, chuỗi Fourier trở thành trường hợp cực đoan trong khuôn khổ biến đổi Fourier, và khó khăn toán học của chuỗi gắn với tính cực đoan phi vật lý của nó (tr. 2).

Module 13 sẽ dựng lại chuỗi Fourier từ nhân với chuỗi xung \text{III}.

Hai đại lượng mang cùng thông tin: bảo toàn năng lượng

Với một tín hiệu mẫu 1000 điểm, tổng bình phương theo thời gian là 123.1328 và \frac1N\sum|X_k|^2 theo tần số là 123.1328. Hai số bằng nhau (định lý Rayleigh, module 6).

Tự kiểm tra phần 1

• Vì sao tổng các số hạng của tích chập bằng tích hai tổng? (Gợi ý: đặt s=0 trong biến đổi của tích chập.)
• Nếu một tín hiệu có năng lượng theo thời gian là 123.1328, năng lượng theo tần số phải là bao nhiêu?
• Vì sao Bracewell nói chuỗi Fourier là trường hợp "cực đoan"?

Đáp án gợi ý: F(0)=\int f, nên biến đổi của tích chập tại s=0 bằng F(0)G(0); đáp án hai bằng đúng 123.1328; đáp án ba: vì tuần hoàn vô hạn không có biến đổi thường (module 2).

Ba sóng hình sin: đọc phổ từ FFT

Tín hiệu mẫu gồm 1.0 tại 50 Hz, 0.5 tại 120 Hz và 0.25 tại 300 Hz. FFT phục hồi các biên độ 1, 0.5 và 0.25.

Phổ là thứ đo được, không chỉ là công thức

Máy hiện sóng cho ta thấy dạng sóng điện, máy phân tích phổ cho ta thấy phổ điện hoặc phổ quang, và tai người nghe được phổ (Bracewell, tr. 1).

• Dạng sóng: x(t), đo bằng máy hiện sóng.
• Phổ: X(f), đo bằng máy phân tích phổ hoặc bằng tai.
• Hai đại lượng là biến đổi Fourier của nhau, nên mang cùng lượng thông tin.

Hai cách tính phổ cho cùng đáp số

Cách A dùng FFT. Cách B cộng trực tiếp theo định nghĩa X_k=\sum_n x_ne^{-i2\pi kn/N} ("biến đổi Fourier chậm" của Bracewell, chương 7). Chúng lệch nhau tối đa 2.4e-14, tức là trùng tới sai số làm tròn.

• Nsố mẫu
• X_khệ số DFT thứ k
• A_kbiên độ của sóng hình sin tại tần số k\,f_s/N

Độ phân giải tần số

Quan sát 1 giây với tần số lấy mẫu 1000 Hz cho 1000 mẫu và các ô tần số cách nhau f_s/N=1 Hz. Muốn tách hai vạch cách nhau 0.5 Hz phải quan sát ít nhất 2 giây.

• Tthời gian quan sát
• f_stần số lấy mẫu

Rò phổ: khi tần số rơi giữa hai ô

Sóng 50.5 Hz phân tích trong 1 giây không rơi đúng vào ô nào. Biên độ tại ô 50 chỉ còn 0.6397 (thay vì 1), dự đoán |\text{sinc}(0.5)| là 0.6366, và ngay cả tại ô 80 vẫn còn 0.0085.

Pha: sin và cos khác nhau ở đâu

Phổ biên độ không phân biệt \sin và \cos; pha mới phân biệt. FFT cho pha -90 độ tại ô 50 của \sin và 0 độ tại ô 120 của \cos.

Tần số s là chu kỳ trên đơn vị, không phải rad/s

Giáo trình giữ 2\pi trong số mũ nên s là số chu kỳ trên một đơn vị của x (tr. 6, 18). Nếu bạn đọc tài liệu khác dùng \omega thì đổi bằng \omega=2\pi s.

Phổ của tổng bằng tổng các phổ

Biến đổi Fourier là tuyến tính: \mathcal F\{x_1+x_2\}=\mathcal F\{x_1\}+\mathcal F\{x_2\}. Notebook kiểm tra với hai tín hiệu, sai lệch lớn nhất là 6.2e-14, cỡ sai số làm tròn.

Đáp ứng điều hòa với kích thích điều hòa

Đáp ứng của một hệ với sóng điều hòa vẫn là điều hòa, cùng tần số, với hai điều kiện: tuyến tính và bất biến theo thời gian (Bracewell, tr. 3). Vì vậy ta mô tả bộ khuếch đại bằng đáp ứng tần số.

Gộp hai điều kiện thành một: tích chập

Hai điều kiện có thể phát biểu thành một: đáp ứng liên hệ với kích thích bằng tích chập (tr. 3).

• x(t)kích thích (tín hiệu vào)
• h(t)đáp ứng xung của hệ
• y(t)đáp ứng (tín hiệu ra)

Đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp bậc một

Bộ lọc y[n]=a\,y[n-1]+(1-a)\,x[n] với a=0.9 có đáp ứng xung h[n]=(1-a)a^n. Tích chập trực tiếp với h và hàm lfilter cho cùng đáp số (lệch tối đa 8.2e-15), và tổng của h là 1, tức độ lợi một chiều bằng 1.

Thử với sóng 50 Hz

Đầu vào 50 Hz, lấy mẫu 1000 Hz. Tần số ra là 50 Hz. Độ lợi đo được 0.3193, theo lý thuyết 0.3193. Pha đo được -62.62 độ, theo lý thuyết -62.62 độ (dấu âm nghĩa là sóng ra trễ).

Đáp ứng tần số ở nhiều tần số

Đo bằng FFT tại 25, 50, 100 và 200 Hz: độ lợi lần lượt 0.5576, 0.3193, 0.1681 và 0.0893, khớp đường lý thuyết. Bộ lọc thông thấp: tần số càng cao, biên độ càng giảm.

Khi điều kiện bị phá vỡ, tần số mới xuất hiện

Sóng 50 Hz qua khâu bình phương (phi tuyến): thành phần một chiều 0.5, thành phần 100 Hz biên độ 0.5, còn 50 Hz chỉ 0. Nhân với \cos(2\pi\,20t) (tuyến tính nhưng thay đổi theo thời gian): hai thành phần 30 Hz và 70 Hz biên độ 0.5 và 0.5.

Méo hài của một khuếch đại có số hạng bậc ba

Khâu y=x+0.1x^3 cho sóng 50 Hz: thành phần cơ bản 1.075 và hài bậc ba tại 150 Hz là 0.025. Hệ số méo hài \text{THD}=A_3/A_1 là 2.33%.

Ba bẫy hay gặp khi nói "tuyến tính"

• Chỉ tuyến tính chưa đủ: bộ nhân \cos(2\pi\,20t) tuyến tính nhưng thay đổi theo thời gian, nên tạo tần số mới.
• Bất biến theo thời gian đôi khi còn đúng khi tuyến tính hỏng, còn bất biến theo không gian không phổ biến: độ võng cầu không được tách thành hình sin theo không gian (tr. 3).
• Khi tính tuyến tính hỏng (servo phi tuyến), phải xem lại việc phân tích thành thành phần điều hòa (tr. 3).

Bốn ký hiệu dùng xuyên suốt

Xung chữ nhật là "hàm cổng"

Xung chữ nhật đơn giản không kém xung Gauss, nên Bracewell đặt tên riêng \Pi(x). Tên "hàm cổng" của ngành điện tử gợi ý cách dùng: nhân \Pi(t) vào dạng sóng để mở van cho một đoạn đi qua (tr. 2).

Ví dụ: tích phân \int\Pi(x)\cos(\pi x)\,dx bằng 0.6366, đúng 2/\pi.

Ký hiệu * thay cho tích phân có biến giả

Viết \Pi*f hay \Pi(x)*f(x) thay cho \int_{x-1/2}^{x+1/2}f(u)\,du chỉ là bước nhỏ, nhưng biến giả và cận biến mất, và bản chất "trung bình trượt" hiện ra (tr. 3). Với f(u)=e^{-u^2} tại x=0: tích phân số cho 0.9226, công thức \sqrt\pi\,\text{erf}(1/2) cho 0.9226.

Xung là giới hạn, không phải một hàm

Từ "ký hiệu xung" nhắc rằng \delta(x) không phải hàm. Biểu thức chứa nó có nghĩa như giới hạn của dãy xung (không phải xung nhọn) hẹp dần và cao dần, và giới hạn thường tồn tại (tr. 4).

• \varepsilonbề rộng xung, cho tiến về 0

Thử số: xung "lấy mẫu" giá trị tại gốc

Với f=\cos x, tích phân \int f\,\delta_\varepsilon\,dx tiến dần tới f(0)=1 khi \varepsilon giảm:

Đây là tính chất "sàng" (sifting) mà chương 5 phát triển.

Vì sao gọi là "ký hiệu" xung

Trong vật lý, hàm Green và đáp ứng xung thường tạo ra hoặc quan sát được, trong giới hạn phân giải của thiết bị đo, còn xung thật thì hư cấu. Ví dụ quen thuộc là mô men do một khối điểm đặt trên dầm, hay điện trường của điện tích điểm (tr. 4).

Chuỗi xung \text{III} (shah): lấy mẫu và tuần hoàn

Shah được định nghĩa là \text{III}(x)=\sum_n\delta(x-n). Lấy mẫu đều (tra bảng) tương đương nhân với shah, còn hàm tuần hoàn biểu diễn được bằng tích chập với shah. Vì shah là biến đổi Fourier của chính nó, nó hữu ích gấp đôi mong đợi (tr. 2 đến 3).

Hàm suy rộng: chương 5 và 6

Bracewell chọn cách trình bày bằng "hàm suy rộng" theo Temple và Lighthill (chương 5 và 6). Nhờ đó ta giữ được cả tính chặt chẽ lẫn cách thao tác trực tiếp với \delta vốn rất hiệu quả (tr. 4).

Hai giáo trình gốc

26 module: 4 chung, 15 riêng Bracewell, 7 riêng Barkat

Mỗi chương là một module. Bốn cặp chương có cùng chủ đề được ghép làm một module dài hơn (khoảng 60 slide thay vì 40):

Năm phần A đến E

Tư duy biến đổi khác với tính biến đổi

Phương pháp biến đổi không nhất thiết đòi tính biến đổi bằng số. Một số phương pháp tốt nhất cho bài toán tuyến tính không áp dụng biến đổi lên dữ liệu, nhưng cơ sở của chúng được làm sáng tỏ nhờ miền biến đổi (tr. 3).

Với tính số, ta thường thích đáp án hiện ra dưới dạng tích chập của hai hàm hơn là một biến đổi Fourier (tr. 3). Đó là lý do module 3 đứng ngay trước bộ định lý.

Quy trình kiểm số của khóa: hai phương pháp độc lập

• Mọi con số trên trang được notebook in ra, không gõ tay.
• Mỗi số được tính bằng ít nhất hai phương pháp độc lập (ví dụ FFT và tổng trực tiếp, tích phân số và công thức đóng), và notebook dừng nếu chúng lệch nhau.
• Bản tiếng Việt và tiếng Anh dùng cùng mã, và phải in ra đúng cùng các số.

Ví dụ ngay trong module này: FFT và tổng trực tiếp lệch 2.4e-14; bộ lọc tích chập và lfilter lệch 8.2e-15.

Cách học một module

1. Đọc mục tiêu và duyệt các slide theo 5 phần. Dùng danh sách chọn slide để nhảy.
2. Đọc mục lịch sử, case study và bảng công thức.
3. Mở notebook, chạy từng cell, đọc phần "Đầu ra thật" sau mỗi cell rồi tự đổi tham số.
4. Làm quiz, đọc giải thích các câu sai, quay lại slide tương ứng.

Bảng ký hiệu và quy ước của giáo trình

Tự kiểm tra phần 5

• Chương nào của Bracewell và Barkat được ghép để dạy về quá trình ngẫu nhiên và nhiễu?
• Vì sao "tư duy biến đổi" không có nghĩa là luôn phải tính FFT?
• Nếu FFT và tổng trực tiếp lệch nhau nhiều, bạn làm gì trước khi tin con số?

Gợi ý: chương 17 và chương 3; vì đôi khi đáp án ra thẳng dạng tích chập; điều tra nguyên nhân tới cùng.

Điều cần mang theo

• Biến đổi là công cụ: đổi miền, giải, đổi ngược.
• Dạng sóng và phổ mang cùng thông tin (bảo toàn năng lượng), và cả hai đo được.
• Đọc phổ cần chú ý độ phân giải f_s/N, rò phổ và pha.
• Sóng điều hòa vào cho sóng điều hòa ra cùng tần số khi hệ tuyến tính và bất biến; khi đó đáp ứng là một tích chập.
• \delta(x) là giới hạn của dãy xung, không phải hàm thông thường.
• Khóa có 26 module, ghép hai giáo trình, và mọi số liệu đều được kiểm bằng hai phương pháp.