Họ hàng của biến đổi Fourier: nhiều chiều, Hankel, Mellin, z, Abel, Radon, Hilbert, phân số

Họ hàng của biến đổi Fourier: nhiều chiều, Hankel, Mellin, z, Abel, Radon, Hilbert, phân số

• Áp dụng các định lý Fourier hai chiều (xoay, cắt, affine, mômen) và biến đổi ba chiều đối xứng cầu.
• Dùng biến đổi Hankel bậc 0 và n chiều khi có đối xứng tròn, và hiểu hạt nhân Fourier theo nghĩa rộng qua định lý Hankel.
• Chuyển giữa Laplace, Mellin và z, và dùng tích chuỗi để nhân và chia đa thức z.
• Tính biến đổi Abel số, dùng vòng Abel-Fourier-Hankel, định lý lát chiếu và chiếu ngược có sửa đổi trong chụp cắt lớp.
• Xây dựng tín hiệu giải tích bằng biến đổi Hilbert, tìm đường bao và tần số tức thời, dùng nhân quả (cặp Hilbert), và biết biến đổi Fourier phân số.

Dùng nút, chấm tròn hoặc phím ← → để chuyển slide.

Các họ hàng gần và xa

Nhiều biến đổi tuyến tính thông dụng liên quan trực tiếp với Fourier hoặc Laplace. Gần nhất là tổng quát hóa lên hai chiều hoặc hơn, và biến đổi Hankel bậc 0 và cao hơn khi có đối xứng. Biến đổi Mellin được soi sáng nhờ biến đổi Laplace và là công cụ xây dựng lý thuyết hạt nhân Fourier. Biến đổi Hilbert trở nên gọn khi xét bằng Fourier, và có mối quan hệ mật thiết: Abel, Fourier và Hankel áp dụng liên tiếp tái tạo hàm ban đầu. Biến đổi Radon là tổng quát hóa của Abel khi bỏ đối xứng tròn, và vòng Abel-Fourier-Hankel tổng quát thành định lý lát chiếu, công cụ suy nghĩ cho tái tạo từ hình chiếu (Bracewell, tr. 329 đến 330).

Biến đổi Fourier hai chiều

F(u,v)=\iint f(x,y)e^{-i2\pi(ux+vy)}dx\,dy và nghịch đảo f=\iint F\,e^{i2\pi(ux+vy)}du\,dv. Màng căng, ăng ten và dãy ăng ten, thấu kính, cách tử nhiễu xạ, hình ảnh trên màn hình đều là hệ hai chiều. Một hàm tách được f(x)g(y) có biến đổi F(u)G(v); ví dụ Gauss e^{-\pi(x^2+y^2)} tự biến đổi thành e^{-\pi(u^2+v^2)}. Số đo bằng tổng trên lưới bước 0.04: tại (u,v)=(0.5,0.3) ta có 0.3436, và công thức 0.3436 lệch 6e-16. Tích chập hai chiều là f**g=\iint f(x',y')g(x-x',y-y')dx'dy' (một hàm xoay nửa vòng quanh gốc, dịch, nhân, tích phân) (tr. 330 đến 331).

Tích và chập: cách biểu diễn một hàm

Hình chữ nhật hai chiều \Pi(x,y) (bằng 1 khi |x|,|y|<\tfrac12) có hai cách biểu diễn: \Pi(x,y)=\Pi(x)\Pi(y) (tích) và =[\Pi(x)\delta(y)]*[\Pi(y)\delta(x)] (chập của hai thanh vuông góc) (hình 13.2, tr. 331). Điều này giúp nhận ra một hàm là chập, và cho biến đổi \mathrm{sinc}\,u\,\mathrm{sinc}\,v. Số đo rời rạc: chập hai chiều của hàng a (5 phần tử) và cột b (4 phần tử) bằng tích ngoài b\,a^T, độ lệch 1e-16, có tổng phần tử bằng \sum a\sum b = 72.

Bảng định lý hai chiều

Các định lý một chiều tổng quát hóa dễ dàng (bảng 13.1, tr. 332 đến 333). Tích phân xác định \iint f=F(0,0); mômen bậc nhất cho trọng tâm \bar x=-F_u(0,0)/(i2\pi F(0,0)); mômen bậc hai \iint x^2f=-F_{uu}(0,0)/4\pi^2 và \iint(x^2+y^2)f=-[F_{uu}+F_{vv}](0,0)/4\pi^2. Với Gauss e^{-\pi r^2}: F(0,0) = 1 và \iint r^2f = 0.3183, bằng cả hai cách (tính trực tiếp và từ đạo hàm của F).

Định lý xoay và định lý cắt

Xoay: nếu f xoay góc \theta trên mặt phẳng (x,y) thì biến đổi xoay cùng góc, cùng chiều trên mặt phẳng (u,v): f(x\cos\theta-y\sin\theta,\ x\sin\theta+y\cos\theta)\supset F(u\cos\theta-v\sin\theta,\ u\sin\theta+v\cos\theta). Cắt (shear): f(x+by,y)\supset F(u,v-bu): hàm bị cắt thì biến đổi bị cắt cùng mức theo hướng vuông góc (tr. 332 đến 333). Số đo với f=e^{-\pi(4x^2+y^2/4)} xoay \theta=0.6 tại (u,v)=(0.3,0.2): hai vế lệch 4e-16; với Gauss tròn cắt b=0.5 tại (0.4,0.3): lệch 1e-15.

Định lý affine

Hàm chịu biến đổi affine của mặt phẳng, f(ax+by+c,\ dx+ey+f), có biến đổi |ae-bd|^{-1}\exp\{i2\pi(ae-bd)^{-1}[(ec-bf)u+(af-cd)v]\}\,F\!\left[\tfrac{eu-dv}{ae-bd},\ \tfrac{-bu+av}{ae-bd}\right] (Bracewell và cộng sự, 1993; tr. 333). Nó chứa mọi định lý xoay, cắt, đồng dạng và dịch như trường hợp riêng. Số đo với Gauss không đẳng hướng (a,b,c,d,e,f=1.2,0.3,0.4,-0.2,0.9,-0.3) tại (u,v)=(0.35,-0.2): công thức với dấu + trong mũ lệch 1e-16, còn đổi dấu thành - lệch 0.78: dấu là quan trọng.

Biến đổi Fourier ba chiều

Ví dụ kinh điển: nhiễu xạ tia X bởi tinh thể: F(u,v,w)=\iiint f\,e^{-i2\pi(ux+vy+wz)}dx\,dy\,dz. Ký hiệu vectơ \mathbf x,\mathbf s gọn cho n chiều. Với đối xứng cầu f=k(r): K(s)=4\pi\int_0^\infty k(r)\,\mathrm{sinc}(2sr)\,r^2dr, cũng đối ngược. Bảng 13.4: khối cầu \Pi(r/2) (bán kính 1) có biến đổi \dfrac{\sin2\pi s-2\pi s\cos2\pi s}{2\pi^2s^3}; giá trị tại 0 là thể tích 4.1888 (4\pi/3), tại s=1 là -0.3183 (-1/\pi), khớp tích phân số -0.3183. Gauss ba chiều e^{-\pi r^2} tự biến đổi, ví dụ tại s=0.5: 0.4559. Các cặp tách được f(x)g(y)h(z)\supset F(u)G(v)H(w) sinh thêm nhiều cặp (tr. 340 đến 343).

Các đối xứng trụ và cầu

Đối xứng tròn quanh trục z (f không phụ thuộc góc): H(s,w)=2\pi\iint h(r,z)J_0(2\pi sr)e^{-i2\pi wz}r\,dr\,dz (Hankel theo r, Fourier theo z). Đối xứng trụ (f chỉ phụ thuộc r): F(u,v,w)=K(s)\delta(w) với K(s)=2\pi\int k(r)J_0(2\pi sr)r\,dr: một đường trụ vô hạn có biến đổi là một tấm trong không gian tần số. Bảng 13.4: thanh 2\Pi(x,y) có biến đổi \mathrm{sinc}\,u\,\mathrm{sinc}\,v\,\delta(w); tấm \Pi(x) có biến đổi \mathrm{sinc}\,u\,\delta(v)\delta(w); lập phương \Pi(x,y,z) có \mathrm{sinc}\,u\,\mathrm{sinc}\,v\,\mathrm{sinc}\,w. Số đo: giá trị lập phương đơn vị tại (0.5,0.25,0.25) bằng tích ba sinc 0.516 (theo hai cách: tích và tổng số đo).

Tự kiểm tra phần 1

• Định lý xoay hai chiều nói gì?
• Vì sao dấu trong mũ của định lý affine quan trọng?
• Biến đổi của khối cầu bán kính 1 tại 0 bằng bao nhiêu?

Gợi ý: biến đổi xoay cùng góc, cùng chiều; nó quyết định pha tuyến tính do dịch; thể tích 4\pi/3.

Đối xứng tròn dẫn tới Hankel

Hệ quang học thường gồm các thành phần đối xứng tròn, và sóng lan tỏa hai chiều từ nguồn có đối xứng tự nhiên. Khi f(x,y)=f(r), r^2=x^2+y^2, thì F(u,v)=F(q), q^2=u^2+v^2. Đổi sang tọa độ cực và tích phân theo góc (dùng J_0(z)=\tfrac1{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{iz\cos\phi}d\phi): F(q)=2\pi\int_0^\infty f(r)J_0(2\pi qr)\,r\,dr và nghịch đảo f(r)=2\pi\int_0^\infty F(q)J_0(2\pi qr)\,q\,dq (Bracewell, tr. 335 đến 336). Gọi F(q) là biến đổi Hankel bậc 0 của f: đối ngược chặt chẽ, như khi hạt nhân là cos và sin. Thừa số 2\pi trong ngoặc là do đo q bằng chu kỳ nguyên trên mỗi đơn vị của r, thừa số 2\pi trước tích phân từ phần tử diện tích 2\pi r\,dr.

Các cặp Hankel: đĩa, mũ, Gauss

Bảng 13.2 (tr. 338): đĩa \Pi(r/2a)\supset a\,J_1(2\pi aq)/q (còn gọi là jinc); mũ e^{-ar}\supset2\pi a\,(a^2+4\pi^2q^2)^{-3/2}; Gauss e^{-\pi r^2}\supset e^{-\pi q^2}; vòng xung \delta(r-a)\supset2\pi aJ_0(2\pi aq); 1/r\supset1/q. Số đo a=1.5 tại q=0.4: đĩa tích phân số 0.094 khớp công thức 0.094 (jinc); mũ a=1.3: tích phân 0.3605 khớp 0.3605; Gauss tại q=0.5: 0.4559. Áp dụng hai lần cho mũ trả lại f(0.5) = 0.522 với độ lệch 7e-09: đối ngược.

Các định lý Hankel

Bảng 13.3 (tr. 339): đồng dạng f(ar)\supset a^{-2}F(q/a); cộng; chập hai chiều tròn \supset F(q)G(q); Rayleigh \int|f|^2r\,dr=\int|F|^2q\,dq; tích phân xác định 2\pi\int f\,r\,dr=F(0); mômen bậc hai 2\pi\int r^2f\,r\,dr=-F''(0)/2\pi (tr. 339 in F''(0)/2\pi với dấu tùy quy ước); độ rộng tương đương =F(0)/f(0) hay f(0)/F(0). Dịch gốc phá đối xứng tròn nên không có định lý dịch. Với Gauss e^{-\pi r^2}: 2\pi\int f\,r\,dr = 1, và Rayleigh cho 0.5 và 0.5.

Tính số biến đổi Hankel

Bracewell: khá đơn giản nếu có hàm Bessel J_0. Cách khác: lấy biến đổi Abel f_A(x) với x\ge0, làm thành hàm chẵn độ dài gấp đôi bằng cách cho giá trị tại x<0, rồi gọi FFT; vòng Abel-Fourier-Hankel sẽ nói sau (tr. 337). Số đo cho Gauss e^{-\pi r^2}: tích phân J_0 trực tiếp tại q=0.5 cho 0.4559, đường Abel rồi FFT (lưới bước 0.01) cho 0.4559, và công thức e^{-\pi q^2} cho 0.4559: khớp ba cách.

Hạt nhân Fourier theo nghĩa rộng

Hai hàm f,g liên hệ qua g(x)=\int f(s)k(s,x)ds với nghịch đảo f(x)=\int g(s)k(s,x)ds (cùng hạt nhân) gọi k là hạt nhân Fourier theo nghĩa rộng: 2\cos2\pi ax, 2\sin2\pi ax, \mathrm{cas}\,2\pi ax và J_0. Định lý Hankel: g(x)=\int_0^\infty f(s)(xs)^{1/2}J_\nu(xs)\,ds hay G(s)=\int g(x)(xs)^{1/2}J_\nu(xs)\,dx, và g(x)=\int G(s)(xs)^{1/2}J_\nu(xs)\,ds. Tách s^{1/2}, x^{1/2}: F(s)=\int_0^\infty x\,f(x)J_\nu(xs)\,dx và f(x)=\int s\,F(s)J_\nu(xs)\,ds (bậc \nu tổng quát; \nu=0 ở trên) (tr. 339 đến 340). Với \nu=\pm\tfrac12: J_{1/2}(z)=(2/\pi z)^{1/2}\sin z và J_{-1/2}(z)=(2/\pi z)^{1/2}\cos z, nên cosin và sin nằm trong định lý Hankel; số đo tại z=2.3: hai đẳng thức lệch 5e-16.

Hankel n chiều

Khi có đối xứng cầu trong n chiều, biến đổi một chiều còn lại là F(q)=2\pi q^{1-n/2}\int_0^\infty f(r)J_{n/2-1}(2\pi qr)\,r^{n/2}dr (tr. 343). Với n=1,2,3 ta lấy lại Fourier, Hankel và trường hợp đối xứng cầu đã nêu (nhớ J_{1/2} và J_{-1/2} là sin và cos). Số đo cho Gauss e^{-\pi r^2} tại q=0.5: cả n=1,2,3 cho cùng 0.4559 (e^{-\pi q^2}), độ lệch lớn nhất 3e-16. Đó là lý do Gauss là điểm cố định của biến đổi Fourier ở mọi số chiều.

Hình 13.4: các cặp Hankel trực quan

• Vòng xung \delta(r-a) biến thành 2\pi aJ_0(2\pi aq): vòng sóng đồng tâm mở rộng (nhiễu xạ qua khe tròn).
• Đĩa (khẩu độ tròn) \Pi(r/2a) biến thành jinc: vòng Airy, không điểm tại nghiệm của J_1; số đo nghiệm đầu tiên 2\pi aq\approx 3.8317 (giá trị 3.8317).
• Gauss tự biến đổi và không có vòng phụ, ưu thế cho chùm ánh sáng; 1/r tự biến đổi thành 1/q.

Tự kiểm tra phần 2

• Vì sao Hankel bậc 0 đối ngược chặt chẽ?
• Biến đổi Hankel của đĩa bán kính a là gì?
• Định lý Hankel cho hạt nhân nào với \nu=\tfrac12?

Gợi ý: vì nó suy ra từ Fourier hai chiều đối xứng; aJ_1(2\pi aq)/q; sin, vì J_{1/2}\propto\sin z/\sqrt z.

Biến đổi Mellin

Với s phức: F_M(s)=\int_0^\infty f(x)x^{s-1}dx (Bracewell, tr. 343). Đặt x=e^{-t}: dx=-e^{-t}dt, x^{s-1}=e^{-(s-1)t} nên F_M(s)=\int_{-\infty}^\infty f(e^{-t})e^{-st}dt: Laplace của hàm f(e^{-t}); vẽ lại hàm thời gian theo e^{-t} nén toàn bộ thời gian dương vào khoảng từ 1 đến 0 (hình 13.5). Nghịch đảo f(x)=\tfrac1{2\pi i}\int F_M(s)x^{-s}ds. Số đo: với f=e^{-x} ta có F_M(s)=\Gamma(s); tại s=2.5 ta có 1.3293 bằng cả tích phân trực tiếp và tích phân Laplace \int\exp(-e^{-t})e^{-st}dt (độ lệch 3e-12).

Bảng cặp Mellin

(Bảng 13.5, tr. 345.) Số đo: \sin x tại s=0.5 cho 1.2533 (\Gamma(\tfrac12)\sin\tfrac\pi4) qua tích phân dao động; \tfrac1{1+x} tại s=0.3 cho 3.8832 (\pi/\sin0.3\pi); và xung chữ nhật H(1-x) tại s=2 cho 0.5.

Mellin là mômen

F_M(s) là mômen bậc (s-1) của f. Diện tích F_M(1); mômen bậc nhất F_M(2); mômen bậc hai F_M(3); hoành độ trọng tâm \bar x=F_M(2)/F_M(1); bán kính quán tính [F_M(3)/F_M(1)]^{1/2}; mômen bậc hai quanh trọng tâm F_M(3)/F_M(1)-[F_M(2)/F_M(1)]^2 (Bracewell, tr. 344, dạng chuẩn hóa). Ví dụ f=\Pi(x-\tfrac12) (bằng 1 trên (0,1)): F_M(s)=1/s; trọng tâm 0.5, bán kính quán tính 0.5774, phương sai 0.0833 (1/12). Định lý đồng dạng f(ax)\supset a^{-s}F_M(s): với e^{-x}, a=2, s=2.5 ta có 0.235.

Mellin và điều kiện hạt nhân Fourier

Từ g(x)=\int f(s)k(xs)ds và f(x)=\int g(s)h(xs)ds, lấy Mellin cả hai vế cho K_M(s)H_M(1-s)=1, tức nghiệm giải cho phương trình tích phân hạt nhân k(ax). Khi h=k đó là điều kiện để k(ax) là hạt nhân Fourier: K_M(s)K_M(1-s)=1 (Bracewell, tr. 346 đến 347). Kiểm tra với k(x)=2\cos2\pi x: K_M(s)=2(2\pi)^{-s}\Gamma(s)\cos\tfrac12\pi s; tại s=0.3: K_M(0.3) = 3.0715 (tích phân số 3.0715), và tích K_M(0.3)K_M(0.7) = 1. Đây là chứng minh rằng hạt nhân cosin đối ngược, qua Mellin.

Biến đổi z: đa thức mẫu

Tín hiệu mà giá trị mẫu cách đều là toàn bộ thông tin (điều chế xung, hệ điều khiển lấy mẫu). Với khoảng bằng 1 và f(t) biết tại t=0,1,\ldots,n, đa thức F(z)=f(0)+f(1)z^{-1}+f(2)z^{-2}+\cdots+f(n)z^{-n} là biến đổi z (tr. 347). Chuỗi xung g(t)=\sum f(n)\delta(t-n) đầy đủ tương đương tập mẫu. Liên hệ với Laplace: F_L(p)=\sum f(n)e^{-np}, nên với z=e^{p} đó chính là biến đổi z; tại p=0.7 số đo cho 5.2559 bằng F(e^{0.7}) (độ lệch 9e-16). Trên vòng đơn vị z=e^{i2\pi k/N} ta có DFT (module 14): F(z_k) lệch 1e-14 so với FFT.

Tích chuỗi là tích đa thức

Hệ có đáp ứng xung \{h(0)\,h(1)\,\ldots\} nhận vào tín hiệu \{f(0)\,f(1)\,\ldots\} cho ra tích chuỗi, có biến đổi z bằng tích F(z)H(z). Ví dụ: tín hiệu \{2\,1\} và đáp ứng \{8\,4\,2\,1\}: (2+z^{-1})(8+4z^{-1}+2z^{-2}+z^{-3})=16+16z^{-1}+8z^{-2}+4z^{-3}+z^{-4}, nên đầu ra \{16\,16\,8\,4\,1\} (16 phần tử đầu, 1 phần tử cuối) (tr. 348). Ngược lại chia biến đổi z đầu ra cho đầu vào cho đáp ứng: phép chia đa thức trả lại \{8\,4\,2\,1\} (phần dư 0). Thừa số hóa đa thức cho thuận tiện lý thuyết, đó là lý do dùng z.

Bảng z và định lý

Bảng 13.7 cho các dãy có công thức (tr. 350): \{1,1,1,\ldots\}\to\dfrac1{1-z^{-1}}; \{n\}\to\dfrac{z^{-1}}{(1-z^{-1})^2}; \{n^2\}\to\dfrac{z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^3}; \{a^n\}\to\dfrac1{1-az^{-1}}; \{\cos\alpha n\}\to\dfrac{1-z^{-1}\cos\alpha}{1-2z^{-1}\cos\alpha+z^{-2}}. Số đo tại z=2 (tổng chuỗi 300 số hạng): \sum n z^{-n} = 2, \sum n^2z^{-n} = 6, \sum\cos(0.7n)z^{-n} = 1.2729 khớp công thức. Định lý (bảng 13.8): f(n-1)\supset z^{-1}F; nf(n)\supset-zF'(z) (số đo lệch 2e-09); f_1*f_2\supset F_1F_2. Bảng z và định lý Mellin gần như giống hệt vì Mellin và z ngược đều dẫn từ Laplace.

Tự kiểm tra phần 3

• Biến đổi Mellin của e^{-x} tại s=2.5 là gì?
• Biến đổi z của \{2\,1\}*\{8\,4\,2\,1\} là gì?
• Điều kiện hạt nhân Fourier theo Mellin là gì?

Gợi ý: \Gamma(2.5)=1.3293; đa thức 16+16z^{-1}+8z^{-2}+4z^{-3}+z^{-4}; K_M(s)K_M(1-s)=1.

Biến đổi Abel

Khi có phân bố tròn chiếu xuống một chiều (đáp ứng của camera truyền hình quét qua một vạch hẹp, hay của vi quang kế quét qua phân bố mật độ tròn trên kính ảnh) ta gặp biến đổi Abel: f_A(x)=2\int_x^\infty\dfrac{f(r)\,r\,dr}{(r^2-x^2)^{1/2}} (Bracewell, tr. 351). Nó cũng gắn với đạo hàm cấp phân số (dẫn nhiệt trong chất rắn, truyền tín hiệu trên cáp). Bằng cách đặt \xi=x^2, \rho=r^2, được biến đổi Abel sửa đổi F_A=K*F với K(\xi)=\xi^{-1/2} khi \xi<0 (dạng chập), nên lấy Fourier: F=(1/\pi)\,\ldots; nghiệm là f(r)=-\dfrac1\pi\int_r^\infty\dfrac{f_A'(x)\,dx}{(x^2-r^2)^{1/2}} (tr. 352 đến 353). Kiểm tra: f_A(0)=2\int_0^\infty f\,dr và \int f_A\,dx=2\pi\int f\,r\,dr.

Các cặp Abel: đĩa, bán ellip, tam giác

Bảng 13.9 (tr. 354): đĩa \Pi(r/2a)\to2(a^2-x^2)^{1/2}\Pi(x/2a) (bán ellip); Gauss e^{-r^2/2\sigma^2}\to(2\pi)^{1/2}\sigma\,e^{-x^2/2\sigma^2}; hình nón a\Lambda(r/a) \to hàm có \cosh^{-1}; vòng xung \delta(r-a)\to2a(a^2-x^2)^{-1/2}\Pi(x/2a); \mathrm{sinc}-loại. Số đo: đĩa a=1 tại x=0.6 cho f_A = 1.6 (2\sqrt{1-0.36}); Gauss e^{-\pi r^2} tại x=0.5 cho 0.4559 (e^{-\pi x^2}, tự biến đổi); tại 0: f_A(0)=2\int f\,dr cho f=1-r (trên r<1) là 1, và \int f_A\,dx = 1.0472 (2\pi/6=\pi/3).

Cách tính số biến đổi Abel bằng bảng hệ số

Sau khi đổi biến, tính tổng các tích K(\rho)F(\xi-\rho) tại các bước rời rạc. Giá trị của K không đổi khi bước nhỏ đi, trừ thừa số chuẩn hóa, nên lập được bảng vạn năng (bảng 13.10): hệ số cho khoảng [n,n+1] là c_n=\int_n^{n+1}\rho^{-1/2}d\rho=2(\sqrt{n+1}-\sqrt n): c_0 = 2, c_1 = 0.828, c_2 = 0.636, c_3 = 0.536. Ví dụ của sách F(p)=(10-p)^{1/2} có F_A(\xi)=\tfrac\pi2(10-\xi): tại \xi=5 tổng \sum c_nF(5+n+\tfrac12) cho 7.79 (sách 7.78) so với đúng 7.854 (tr. 353 đến 355). Bài toán ngược tính từ dưới lên với cùng bảng.

Chương trình tính f(r)=1-r

Cách thay thế tránh kỳ dị khi r\to x: định nghĩa hàm f(r) nội suy giữa các mẫu, rồi tích phân f_A(x)=2\int_0^\infty f(\sqrt{x^2+t^2})\,dt (đổi r^2=x^2+t^2), khỏi phải xử lý căn ở mẫu số. Với f=1-r trên [0,1], sách in các giá trị f_A(x) tại x=0,0.1,\ldots,0.9: 1,\ .9651,\ .8881,\ .7853,\ .6658,\ .5368,\ .4045,\ .2753,\ .1564,\ .0575 (sai số tuyệt đối trung bình nhỏ); tính lại ở đây: f_A(0.1) = 0.9651, f_A(0.5) = 0.5368, f_A(0.9) = 0.0575, khớp giá trị in trong 0.001 (tr. 356).

Vòng Abel-Fourier-Hankel

Bắt đầu từ hàm chẵn f(r): biến đổi Abel, rồi Fourier một chiều, rồi Hankel: ta trở về hàm ban đầu (Bracewell, 1956). Ví dụ f(r)=\delta(r-a): Abel cho 2a/\sqrt{a^2-x^2}\,\Pi(x/2a), Fourier của nó là 2\pi aJ_0(2\pi as), và bảng 13.2 cho Hankel của J_0 là \delta(r-a) (tr. 357). Số đo với Gauss e^{-\pi r^2} tại r=0.6: giá trị đúng 0.3227, tính đủ ba bước bằng số (Abel tích phân, Fourier tổng, Hankel tổng) cho lại giá trị với độ lệch 2e-07. Nghĩa là Hankel = Fourier \circ Abel (bài 16 của chương).

Biến đổi Radon và định lý lát chiếu

Với mật độ không đối xứng f(x,y) quét theo hướng \theta: g_\theta(R)=\iint f(x,y)\,\delta(R-x\cos\theta-y\sin\theta)\,dx\,dy là tích phân dọc đường x\cos\theta+y\sin\theta=R (khe ở khoảng cách R từ gốc). Kỹ thuật này làm cách mạng chẩn đoán y học (CAT, NMR) và thiên văn vô tuyến. Định lý lát chiếu: lát cắt của F(u,v) dọc góc \theta bằng Fourier một chiều của hình chiếu g_\theta(R) (Bracewell, 1956; tr. 356 đến 358). Số đo với Gauss ellip f=e^{-\pi(x^2/4+y^2/0.25)} (a=2, b=0.5) tại \theta=0.6: hình chiếu g_\theta(0.3) tích phân số 0.5399 khớp công thức 0.5399; và Fourier một chiều của hình chiếu tại q=0.4 bằng lát cắt F(q\cos\theta,q\sin\theta): lệch 1e-16.

Tái tạo bằng chiếu ngược có sửa đổi

Các hình chiếu cho F(u,v) trên các nan hoa \theta=\mathrm{const}; mật độ điểm tỉ lệ nghịch với bán kính, nên nhân với |q| để hiệu chỉnh: hệ số \Pi(q/2M)-\Lambda(q/M)=|q|/M khi |q|<M. Nhân ở miền q tương ứng phép chập dữ liệu g_0(R)=g(R)*(2M\,\mathrm{sinc}\,2MR-M\,\mathrm{sinc}^2MR). Quy trình: (a) sửa mỗi hình chiếu bằng chập, (b) chiếu ngược (rải hình chiếu đã sửa đều theo hướng vuông góc với trục R) và (c) cộng dồn trên mặt phẳng (x,y): chiếu ngược có sửa đổi (Bracewell và Riddle, 1967; tr. 358). Số đo: biến đổi Fourier của nhân tại q=2 bằng |q|/M = 0.333 (với M=6), tại q=8>M bằng 0; tái tạo hai Gauss từ 180 hướng: tại tâm 0.9994 (đúng 1), sai lệch lớn nhất trên bốn điểm 0.013.

Ví dụ: hai Gauss và các hình chiếu

• Vật thể: một Gauss trung tâm (bề rộng 0.5, biên độ 1) và một Gauss nhỏ hơn (bề rộng 0.3, biên độ 0.6) tại (0.7,-0.5); hình chiếu của mỗi Gauss là Gauss theo R, tâm dịch R_c=x_c\cos\theta+y_c\sin\theta.
• Không lọc thì chiếu ngược cho ảnh mờ (trọng số 1/|q|); lọc bằng nhân chập cho ảnh sắc: giá trị tại tâm 0.9994.
• Sai số còn lại đến từ băng thông hữu hạn M và nội suy tuyến tính, không phải từ số hướng: 90, 180 và 360 hướng cho cùng kết quả đến 3 chữ số.

Tự kiểm tra phần 4

• Biến đổi Abel của đĩa bán kính 1 tại x=0.6 là bao nhiêu?
• Vòng Abel-Fourier-Hankel nói gì?
• Vì sao chiếu ngược cần bộ lọc dốc |q|?

Gợi ý: 2\sqrt{1-0.36}=1.6; Abel, rồi Fourier, rồi Hankel trả lại hàm ban đầu; vì mật độ điểm trên nan hoa tỉ lệ 1/|q|.

Biến đổi Hilbert

Định nghĩa F_{\mathrm{Hi}}(x)=\tfrac1\pi\,\mathrm{P.V.}\!\int\dfrac{f(x')\,dx'}{x'-x}=\left(-\dfrac1{\pi x}\right)*f(x), kỳ dị tại x=x' lấy giá trị chính Cauchy. Biến đổi Fourier của -1/(\pi x) là i\,\mathrm{sgn}\,s (+i cho s>0, -i cho s<0): biến đổi Hilbert là bộ lọc lạ, giữ biên độ các thành phần phổ nhưng dời pha \pi/2 theo dấu của s. Áp dụng hai lần đảo pha mọi thành phần nên f=-F_{\mathrm{Hi}}*(1/\pi x)... tức HH f=-f. Mọi cosin thành -sin và mọi sin thành cosin; hàm chẵn thành hàm lẻ (Bracewell, tr. 359 đến 361). Số đo trên tín hiệu tuần hoàn: Hilbert của \cos lệch -\sin bởi 3e-15, và áp dụng hai lần lệch -f bởi 1e-15. Hilbert của \Pi(x) là \tfrac1\pi\ln|(x-\tfrac12)/(x+\tfrac12)|: tại x=1 là -0.3497, tại x=0.2 (điểm trong vùng kỳ dị) là -0.2697, cả hai bằng tích phân giá trị chính số.

Tín hiệu giải tích

Với f(t) thực, liên kết hàm phức f(t)-iF_{\mathrm{Hi}}(t) mà phần thực là f: tín hiệu giải tích; F_{\mathrm{Hi}} là hàm cầu phương. Ví dụ hàm cầu phương của \cos t là -\sin t và tín hiệu giải tích là e^{it}: nó liên hệ với f như e^{it} với \cos t. Nó không chứa thành phần tần số âm: có được bằng cách triệt tần số âm và nhân đôi: 2H(f)F(f). Số đo với tín hiệu ngẫu nhiên dải hẹp: tính f-iF_{\mathrm{Hi}} (bộ lọc i\,\mathrm{sgn}\,s) khớp hàm \mathrm{scipy.signal.hilbert} với độ lệch 5e-16, và phổ của nó trên tần số âm nhỏ hơn 1e-16 (Bracewell, tr. 361 đến 363).

Đường bao và tần số tức thời

Nếu gán được tần số góc trung bình \omega, tín hiệu giải tích viết V(t)e^{i\omega t}; V(t) là phasor biến thiên theo thời gian; |V(t)| là biên độ tức thời, hay đường bao, và tốc độ đổi pha là tần số tức thời (Bracewell, tr. 362 đến 363). Bracewell cảnh báo: \omega và V(t) nói chung không xác định duy nhất, nên thuật ngữ đường bao có thể gây bất ngờ. Số đo: điều biên (1+0.5\cos3t)\cos50t có đường bao 1+0.5\cos3t với độ lệch 8e-14; điều tần \cos(50t+2\sin3t) có tần số tức thời cực đại lệch tần mang \beta\Omega=6: 6.

Nhân quả và cặp Hilbert

Đáp ứng xung I(t) của hệ vật lý bằng 0 khi t<0: nhân quả (\"khả thi vật lý\" là thuật ngữ không tốt vì hệ có thể khó xây vì lý do khác). Tách I=E+O chẵn và lẻ với O=\mathrm{sgn}\,t\,E nên I=(1+\mathrm{sgn}\,t)E, và biến đổi T(f)=G(f)+iB(f) với B=F_{\mathrm{Hi}}[G]: phần thực và ảo của hàm truyền nhân quả là cặp Hilbert; B(f)=\tfrac{2f}\pi\int_0^\infty\dfrac{G(u)\,du}{u^2-f^2} (giá trị chính) và G(f)=\ldots (Kramers-Kronig, tr. 363 đến 364). Ví dụ I(t)=e^{-t}H(t): T=\dfrac1{1+i2\pi f}, G=\dfrac1{1+4\pi^2f^2}, B=\dfrac{-2\pi f}{1+4\pi^2f^2}. Tại f=0.3: B = -0.414 từ công thức và -0.414 từ giá trị chính số, lệch 1e-16.

Tính biến đổi Hilbert bằng máy

Có vẻ đơn giản: rời rạc hóa, lấy DFT, nhân i\,\mathrm{sgn}\,s, nghịch đảo. Còn đơn giản hơn: chập với các hệ số của -1/\pi x tại số nguyên. Với bán khoảng N=5 khoảng lấy mẫu, 11 hệ số là \{.064\ .080\ .106\ .159\ .318\ 0\ -.318\ -.159\ -.106\ -.080\ -.064\} (0.064 tại \pm5, 0.318 tại \pm1). Mối lo là các hệ số bị bỏ có tổng vô hạn, hy vọng hai vô cực triệt nhau; và khoảng lấy mẫu phải nhỏ để không chồng phổ. Đáp ứng tần số của 11 hệ số có pha đúng \pm\pi/2 nhưng biên độ không phải 1: chỉ một dải hẹp gần s=0.08 có biên độ xấp xỉ 1 (cực đại 1.006), tại s=0.1 là 0.972, tại 0.25 là 0.552, tại 0.4 là 0.18 (tr. 364 đến 366). Cách Fourier cũng hỏng tương tự do chồng phổ.

Hilbert bằng biến đổi Hartley

Với dữ liệu f(\tau), \tau=0,\ldots,N-1: lấy DHT H(\nu), đổi chỗ N/2-1 cặp giá trị, với một phần tử của mỗi cặp đổi dấu: \{H(0),H(1),\ldots,H(7)\}\to\{H(0),-H(7),-H(6),-H(5),H(4),H(3),H(2),H(1)\} (với N=8); rồi lấy DHT ngược để có biến đổi Hilbert (Pei và Jaw, 1989; Bracewell, tr. 366 đến 367). Số đo: với tín hiệu trung bình 0, không có thành phần Nyquist, cách hoán vị DHT trùng cách bộ lọc i\,\mathrm{sgn}\,s của FFT với độ lệch 1e-15; nếu đổi dấu tổng thể thì lệch 2.21, nên phải theo đúng dấu. (Các thành phần dc và Nyquist mà cả hai cách xử lý khác nhau nên bị loại khỏi phép thử.)

Biến đổi Fourier phân số: định nghĩa

Áp dụng \mathcal F hai lần cho f(-x), bốn lần quay lại f(x): nếu \mathcal F^a với a nguyên có tính nhất quán, cộng tính, giao hoán, tuyến tính, liệu có \mathcal F^{1/2} mà áp dụng hai lần cho \mathcal F? Với hai chiều, \mathcal F^2 là phép quay \pi và \mathcal F^4 quay 2\pi. Vật lý: trường ở mặt phẳng trung gian giữa mặt phẳng vào và mặt phẳng biến đổi (nhiễu xạ Fraunhofer), hay trong sợi quang có chiết suất phân bậc bình phương n=n_0(1-r^2/h^2) mà biến đổi bậc a nằm ở khoảng cách aL với L=\pi h/2\sqrt{2n_0} (Bracewell, tr. 367 đến 369). Định nghĩa (Namias, 1980), với \phi=\tfrac12\pi a: \mathcal F^af(\xi)=\sqrt{1-i\cot\phi}\,e^{i\pi\xi^2\cot\phi}\int f(t)\,e^{i\pi t^2\cot\phi}e^{-i2\pi\xi t/\sin\phi}dt (dạng chuẩn hóa theo đơn vị Fourier quen); tại a=1 (\phi=\pi/2) nó là Fourier: số đo với Gauss lệch 1e-12.

Cộng tính và hàm riêng Hermite-Gauss

Bracewell: các hàm trực giao H_n(\sqrt{2\pi}t)e^{-\pi t^2} (H_n Hermite) là hàm riêng của biến đổi Fourier phân số: \mathcal F^ah_n=e^{-in\phi}h_n, \phi=\tfrac12\pi a; và đáng chú ý là các hàm sóng của dao động tử điều hòa lượng tử cũng là những hàm này, cũng là các mode của sợi quang chiết suất phân bậc và của hốc laser (tr. 370). Số đo a=0.7 (rời rạc hóa 700 điểm): độ lệch lớn nhất với n=0,1,2,3 là 1e-13; cộng tính \mathcal F^{0.4}\mathcal F^{0.5}=\mathcal F^{0.9} lệch 3e-14; pha của n=1 với a=0.5 bằng -\pi/4 = -0.7854. Ứng dụng: phương trình Schrödinger (Namias), quang học sợi, xử lý thông tin quang, xoay phân bố Wigner (phân tích thời gian-tần số, module 20) và Fourier Hartley phân số thực (Mendlovic, 1995).

Tự kiểm tra phần 5

• Áp dụng biến đổi Hilbert hai lần cho gì?
• Tín hiệu giải tích của \cos t là gì?
• Vì sao phần thực và ảo của hàm truyền nhân quả là cặp Hilbert?

Gợi ý: -f; e^{it}; vì I=(1+\mathrm{sgn}\,t)E nên phổ là G cộng Hilbert của G.

Điều cần mang theo

• Fourier hai chiều: xoay và cắt giữ cấu trúc; định lý affine chứa mọi trường hợp; ba chiều đối xứng cầu K(s)=4\pi\int k\,\mathrm{sinc}(2sr)r^2dr.
• Hankel F(q)=2\pi\int f J_0(2\pi qr)r\,dr đối ngược; đĩa \to aJ_1(2\pi aq)/q; định lý Hankel cho J_\nu, \nu=\pm\tfrac12 là cos và sin.
• Mellin = Laplace sau x=e^{-t}, là mômen s-1; z là đa thức mẫu, tích chuỗi = tích đa thức, z=e^{p} nối Laplace.
• Abel \to Fourier \to Hankel trả lại hàm; định lý lát chiếu; chiếu ngược có sửa đổi lọc bằng |q| rồi chiếu ngược.
• Hilbert dời pha \pm\tfrac\pi2, HH=-1, tạo tín hiệu giải tích, đường bao, cặp nhân quả; Fourier phân số cộng tính, hàm riêng Hermite-Gauss với trị riêng e^{-in\phi}.